Tablas de verdad: cómo calcular el valor de una proposición compuesta

Una proposición compuesta es verdadera o falsa según el valor de las proposiciones simples que la forman y del conectivo que las une. Las tablas de verdad muestran todos los casos posibles. Se usan $V$ para verdadero y $F$ para falso (en informática, $1$ y $0$).

Tablas de los conectivos

Negación

La negación invierte el valor.

Conjunción, disyunción, condicional y bicondicional

Reglas para recordarlas:

• Conjunción ($\land$): solo es verdadera cuando ambas son verdaderas.
• Disyunción inclusiva ($\lor$): solo es falsa cuando ambas son falsas.
• Disyunción exclusiva ($\veebar$): es verdadera cuando solo una es verdadera.
• Condicional ($\Rightarrow$): solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
• Bicondicional ($\Leftrightarrow$): es verdadera cuando ambas tienen el mismo valor.

¿Por qué el condicional con antecedente falso es verdadero?

Piensa en la promesa «Si apruebas, te compro una bicicleta». La promesa solo se rompe si apruebas y no te compro la bicicleta (V ⇒ F). Si no apruebas, cumpla o no, no la rompí: por eso los dos últimos renglones son verdaderos.

Cómo construir una tabla de verdad

1. Cuenta las proposiciones simples. Con $n$ proposiciones hay $2^n$ renglones: con 2 hay 4, con 3 hay 8.
2. Escribe todas las combinaciones. En la primera columna, la mitad de V y la mitad de F; en la segunda, alternando de dos en dos; en la última, alternando uno a uno.
3. Resuelve primero lo que está dentro de los paréntesis y las negaciones, y al final el conectivo principal.

Ejemplo: la tabla de $(p \land q) \Rightarrow r$.

La proposición solo es falsa en el segundo renglón: cuando $p$ y $q$ son verdaderas y $r$ es falsa.

Tautología, contradicción y contingencia

Según los resultados de su última columna, una proposición puede ser:

Las tautologías expresan leyes lógicas, verdaderas por su sola forma. Dos ejemplos importantes:

• Principio de no contradicción: $\neg(p \land \neg p)$. Una cosa no puede ser y no ser al mismo tiempo y en el mismo sentido.
• Principio del tercero excluido: $p \lor \neg p$.

Equivalencias útiles

Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. Las leyes de De Morgan enseñan a negar conjunciones y disyunciones:

$$\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \qquad \neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$$

Y el condicional equivale a su contrapositivo:

$$p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p$$

«Si llueve, el suelo se moja» equivale a «Si el suelo no está mojado, no llovió».

Comprueba lo aprendido

1. ¿En qué único caso es falso un condicional?Ver respuestaOcultar respuesta

Cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

2. ¿Cuántos renglones tiene la tabla de verdad de una proposición con 3 variables?Ver respuestaOcultar respuesta

$2^3 = 8$ renglones.

3. ¿Qué tipo de proposición es $p \lor \neg p$?Ver respuestaOcultar respuesta

Una tautología: es verdadera en todos los casos.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de lógica proposicional

Temas relacionados: ejercicios resueltos de Lógica, ¿Qué es la lógica? Funciones del lenguaje y proposiciones y conectivos lógicos en el curso de filosofía.

Referencias

• Copi, I. M. y Cohen, C. (2013). Introducción a la lógica. Limusa.
• Suppes, P. y Hill, S. (1988). Introducción a la lógica matemática. Reverté.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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