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Múltiples lenguajes 3· Matemáticas

El concurso de televisión: el problema de Monty Hall explicado, por qué conviene cambiar de puerta

Actualizado el 5 min de lectura 11 ejercicios resueltos

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Estás en un concurso de televisión. Hay tres puertas: detrás de una hay un auto y detrás de las otras dos, una cabra. Eliges la puerta 3. El presentador, que sabe dónde está el auto, abre la puerta 2: hay una cabra. Y te pregunta: «¿Quieres cambiar a la puerta 1?». Casi todos pensamos que da igual, que ahora hay un 50 % en cada puerta. Estamos equivocados: si cambias, ganas el doble de veces. Es el famoso problema de Monty Hall.

En tu libro: «El concurso de televisión» está en las páginas 72 a 75 de Múltiples lenguajes. Tercer grado (SEP).

Un poco de historia

  • El problema se llama así por Monty Hall, presentador del programa estadounidense Let’s Make a Deal («Hagamos un trato»), que empezó en 1963 y tenía situaciones parecidas.
  • En 1990, Marilyn vos Savant lo popularizó en su columna de la revista Parade: afirmó que cambiar de puerta duplica la probabilidad de ganar.
  • Recibió miles de cartas que decían que estaba equivocada, muchas de doctores en matemáticas. El debate llegó a los medios… y Marilyn tenía razón.

Nota: el libro dice que Marilyn vos Savant es «la persona que ha sido registrada con el IQ más alto hasta la fecha». El libro Guinness le dio ese récord en los años ochenta, pero retiró la categoría en 1990 porque las pruebas de coeficiente intelectual no son lo bastante precisas para comparar a personas en ese extremo. Hoy no existe un récord oficial.

¿Por qué conviene cambiar?

La intuición equivocada

Al principio, la probabilidad de que el auto esté en tu puerta es

P(ganar)=casos favorablescasos posibles=13P(\text{ganar}) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{1}{3}

Cuando el presentador abre una puerta, quedan dos. La intuición dice: «ahora es 12\frac{1}{2} y 12\frac{1}{2}». Pero eso olvida algo clave: el presentador sabe dónde está el auto y nunca abre la puerta del premio. Su elección no es al azar: nos da información.

Los tres casos

Supón que eliges la puerta 3 (el razonamiento es igual con cualquiera):

CasoDónde está el autoQué puerta abre el presentadorSi cambiasSi no cambias
1Puerta 3 (la tuya)La 1 o la 2PierdesGanas
2Puerta 2La 1GanasPierdes
3Puerta 1La 2GanasPierdes

Si cambias, ganas en 2 de 3 casos: P=23P = \frac{2}{3}. Si no cambias, ganas solo en 1 de 3: P=13P = \frac{1}{3}. ¡Cambiar duplica la probabilidad!

Exagerar para entender: 100 puertas

Imagina 100 puertas, una con auto y 99 con cabras. Eliges la 95: la probabilidad de ganar es 1100\frac{1}{100}. El presentador, que sabe dónde está el auto, abre 98 puertas con cabras y deja cerradas la tuya y la 100. ¿Cambiarías?

  • Tu puerta sigue teniendo 1100\frac{1}{100}: cuando la elegiste, no sabías nada.
  • La puerta 100 «absorbió» la probabilidad de todas las demás: 99100\frac{99}{100}.

¡Claro que conviene cambiar! El caso de tres puertas funciona igual, solo que la diferencia es menos evidente.

Comprensión

    Al inicio, ¿qué probabilidad hay de que el auto esté en la puerta que elegiste?

    Si cambias de puerta, ¿qué probabilidad tienes de ganar?

    ¿Por qué la apertura de la puerta cambia las probabilidades?

    Con 100 puertas, si el presentador abre 98 con cabras, ¿qué probabilidad tiene la otra puerta cerrada?

Ver respuestas

  1. Al inicio, ¿qué probabilidad hay de que el auto esté en la puerta que elegiste? → 13\frac{1}{3}

  2. Si cambias de puerta, ¿qué probabilidad tienes de ganar? → 23\frac{2}{3}

  3. ¿Por qué la apertura de la puerta cambia las probabilidades? → Porque el presentador sabe dónde está el auto y nunca abre esa puerta

  4. Con 100 puertas, si el presentador abre 98 con cabras, ¿qué probabilidad tiene la otra puerta cerrada? → 99100\frac{99}{100}

Completa

  1. a) Si no cambias de puerta, ganas en de cada 3 juegos, en promedio.

  2. b) Si cambias de puerta, ganas en de cada 3 juegos, en promedio.

  3. c) El problema lleva el nombre del presentador Monty .

  4. d) En 1990 lo popularizó Marilyn vos .

Ver respuestas

  1. a) Si no cambias de puerta, ganas en 1 de cada 3 juegos, en promedio.

  2. b) Si cambias de puerta, ganas en 2 de cada 3 juegos, en promedio.

  3. c) El problema lleva el nombre del presentador Monty Hall.

  4. d) En 1990 lo popularizó Marilyn vos Savant.

Experimenta tú

Juega con un compañero usando tres vasos y una moneda escondida bajo uno. Una persona hace de presentador (sabe dónde está la moneda y siempre levanta un vaso vacío). Juega 20 veces cambiando de vaso y 20 veces sin cambiar, y anota cuántas veces ganas en cada caso. Con muchas repeticiones, los resultados se acercarán a 23\frac{2}{3} y 13\frac{1}{3}.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué pasaría si el presentador abriera una puerta al azar y por casualidad apareciera una cabra?

En ese caso sí daría igual cambiar o no: cada puerta cerrada tendría probabilidad 12\frac{1}{2}. La ventaja de cambiar existe porque el presentador sabe dónde está el auto y siempre abre una puerta con cabra.

2. Explica con tus palabras por qué cambiar de puerta conviene.

Al elegir, lo más probable (23\frac{2}{3}) es que hayas escogido una cabra. Si escogiste cabra, el presentador está obligado a abrir la otra cabra, y la puerta que queda tiene el auto. Por eso, al cambiar, ganas siempre que tu primera elección haya sido una cabra: 2 de cada 3 veces.

3. ¿Qué nos enseña este problema sobre la intuición?

Que la intuición puede engañarnos en problemas de probabilidad, y que conviene analizar todos los casos o hacer experimentos antes de sacar conclusiones.

Practica con los ejercicios de esta unidad:

Ejercicios de Matemáticas de Múltiples lenguajes 3

Temas relacionados: acertijos y retos matemáticos resueltos y operaciones con fracciones.

Referencias

  • Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Nanahuatzin. Múltiples lenguajes. Tercer grado. SEP, pp. 72-75.
  • Vos Savant, M. (1990). «Ask Marilyn». Parade, 9 de septiembre de 1990.
  • Rosenhouse, J. (2009). The Monty Hall Problem. Oxford University Press.

Ver libro de texto (SEP)

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