Operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división

Las fracciones aparecen en casi todos los temas de matemáticas: ecuaciones, álgebra, probabilidad y cálculo. En esta clase repasamos cómo operar con ellas paso a paso y la jerarquía de operaciones, que define en qué orden se resuelve una expresión.

Partes de una fracción

En la fracción $\dfrac{a}{b}$, el numerador $a$ indica cuántas partes se toman y el denominador $b \neq 0$ indica en cuántas partes iguales se dividió la unidad.

• Fracción propia: el numerador es menor que el denominador, $\frac{3}{5}$.
• Fracción impropia: el numerador es mayor o igual que el denominador, $\frac{7}{4}$.
• Número mixto: un entero y una fracción propia, $1\frac{3}{4}$.

Convertir entre número mixto y fracción impropia

$$2\frac{3}{5} = \frac{2\cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5} \qquad\qquad \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \;\;(\text{porque } 17 = 2\cdot 6 + 5)$$

Simplificar

Se dividen numerador y denominador entre su máximo común divisor:

$$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$$

Suma y resta

Con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador:

$$\frac{7}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{7-2+4}{9} = \frac{9}{9} = 1$$

Con distinto denominador, se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores, se convierte cada fracción a ese denominador y luego se opera:

$$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$

Para convertir cada fracción, divide el mcm entre el denominador y multiplica el resultado por el numerador: $12 \div 3 = 4$, y $4 \cdot 2 = 8$.

Con números mixtos, conviértelos primero a fracciones impropias:

$$2\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{5}{2} - \frac{3}{4} = \frac{10}{4} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$$

Multiplicación

Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Conviene simplificar antes de multiplicar (en cruz):

$$\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8} = \frac{\cancel{4}^{\,1}}{\cancel{9}_{\,3}} \cdot \frac{\cancel{15}^{\,5}}{\cancel{8}_{\,2}} = \frac{5}{6}$$

División

Se multiplica la primera fracción por el recíproco (la fracción invertida) de la segunda:

$$\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$

Una forma equivalente es el «producto de extremos entre producto de medios»: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot d}{b \cdot c}$.

Fracciones complejas

Son fracciones cuyo numerador o denominador contiene otras fracciones. Se resuelve por separado arriba y abajo, y al final se divide:

$$\frac{1 + \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5} = \frac{9}{10}$$

Jerarquía de operaciones

Cuando una expresión combina varias operaciones, se resuelven en este orden:

1. Signos de agrupación: paréntesis $( )$, corchetes $[ ]$ y llaves $\{ \}$, de adentro hacia afuera.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

$$3 + 4\cdot 2^2 - 6 \div 3 = 3 + 4\cdot 4 - 2 = 3 + 16 - 2 = 17$$

Un error frecuente es sumar primero $3+4$: el resultado sería incorrecto, porque la multiplicación va antes que la suma.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$Ver respuestaOcultar respuesta

El mcm de 2, 3 y 6 es 6: $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{6}=1$.

2. Calcula $\frac{3}{5}\div\frac{9}{10}$Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{10}{9}=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}$.

3. Calcula $1\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}$Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de números reales, parte 1

Referencias

• Baldor, A. (2007). Aritmética: teoría y práctica. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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