Construyo figuras, la geometría es arte: teselados, ángulos interiores y qué polígonos cubren el plano
Actualizado el 5 min de lectura 10 ejercicios resueltos
0 de 2 respuestas vistas
Los mosaicos del piso, los panales de las abejas, los adoquines de la calle: todos cubren una superficie sin dejar huecos ni encimarse. Eso es un teselado. En este proyecto vas a descubrir qué figuras pueden teselar un plano y cuáles no, a comprobar o rechazar una hipótesis con geometría y a diseñar un patrón para decorar un muro de tu escuela.
En tu libro: este proyecto está en las páginas 126 a 132 de Nuestro libro de proyectos. Segundo grado (SEP), en el campo formativo Saberes y pensamiento científico.
Polígonos: lo básico
- Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectos (lados). Donde se unen dos lados hay un vértice.
- Es regular si todos sus lados y ángulos son iguales (triángulo equilátero, cuadrado, hexágono regular) e irregular si no.
- Las diagonales unen vértices no consecutivos.
La suma de los ángulos interiores
Desde un vértice, un polígono de lados se divide en triángulos, y los ángulos de cada triángulo suman 180°:
En un polígono regular, cada ángulo mide:
| Polígono regular | Lados | Ángulo interior | ¿Tesela el plano solo? |
|---|---|---|---|
| Triángulo equilátero | 3 | 60° | Sí (6 alrededor de un vértice: 6 × 60° = 360°) |
| Cuadrado | 4 | 90° | Sí (4 × 90° = 360°) |
| Pentágono | 5 | 108° | No (3 × 108° = 324°, quedan 36° de hueco) |
| Hexágono | 6 | 120° | Sí (3 × 120° = 360°) |
| Octágono | 8 | 135° | No (2 × 135° = 270°) |
¿Por qué solo algunos teselan?
Para que varias figuras rodeen un vértice sin dejar huecos ni encimarse, sus ángulos deben sumar exactamente 360°. Con polígonos regulares iguales, eso solo ocurre con el triángulo, el cuadrado y el hexágono: son los únicos tres teselados regulares.
La hipótesis del libro, «si se traza un patrón con cualquier figura, se puede cubrir en su totalidad una superficie plana», es falsa: el pentágono regular, por ejemplo, deja huecos. Pero combinando figuras sí se pueden lograr más patrones: octágonos con cuadrados (135° + 135° + 90° = 360°), como en muchos pisos, o hexágonos con triángulos. A estos se les llama teselados semirregulares. También teselan todos los triángulos y todos los cuadriláteros, aunque sean irregulares.
Calcula
a) La suma de los ángulos interiores de un hexágono es °.
b) Cada ángulo interior de un pentágono regular mide °.
c) Alrededor de un vértice caben cuadrados.
d) Para teselar sin huecos, los ángulos alrededor de un vértice deben sumar °.
e) Un octágono regular tiene ángulos de 135°. Con dos octágonos, el hueco que queda en el vértice mide ° (un cuadrado).
Ver respuestas
a) La suma de los ángulos interiores de un hexágono es 720°.
b) Cada ángulo interior de un pentágono regular mide 108°.
c) Alrededor de un vértice caben 4 cuadrados.
d) Para teselar sin huecos, los ángulos alrededor de un vértice deben sumar 360°.
e) Un octágono regular tiene ángulos de 135°. Con dos octágonos, el hueco que queda en el vértice mide 90° (un cuadrado).
Comprensión
Ver respuestas
¿Qué polígonos regulares pueden teselar el plano por sí solos? → Triángulo, cuadrado y hexágono
¿Por qué el pentágono regular no tesela el plano? → Porque sus ángulos de 108° no suman 360° alrededor de un vértice
¿Qué figura usan las abejas en sus panales? → Hexágono
Arte con teselados
- El artista neerlandés M. C. Escher creó teselados con figuras de animales (peces, aves, lagartos) que encajan perfectamente.
- La Alhambra de Granada está cubierta de teselados geométricos del arte islámico.
- En México, las fachadas de Mitla, en Oaxaca, tienen grecas que repiten patrones geométricos, y el talavera poblano combina azulejos en patrones.
Cómo trazar polígonos regulares con regla y compás
- Hexágono: traza una circunferencia y, sin cambiar la abertura del compás, marca seis veces el radio sobre ella; une los puntos.
- Triángulo equilátero: traza el hexágono y une un vértice sí y uno no.
- Cuadrado: traza dos diámetros perpendiculares y une sus extremos.
- A escala: si la barda mide 4 m × 2 m y usas una escala 1:20, el dibujo medirá 20 cm × 10 cm.
El proyecto
Puedes elegir entre dibujar un patrón que cubra todo un pliego de papel o rehabilitar un muro deteriorado de la escuela con un teselado: medir la superficie, hacer un boceto a escala, trazar las figuras con cinta para enmascarar y pintar. Al final, explica si tus resultados confirmaron o rechazaron la hipótesis.
Comprueba lo aprendido
1. ¿Se puede teselar el plano con triángulos irregulares? ¿Por qué?
Sí. Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180°; si alrededor de un vértice se colocan seis copias (girándolas), cada ángulo aparece dos veces y la suma es 2 × 180° = 360°, sin huecos.
2. Comprueba si el decágono regular (10 lados) tesela el plano.
Ángulo interior: . Dos decágonos suman 288° y tres, 432°; ninguna cantidad da 360°, así que no tesela por sí solo.
Practica con los ejercicios de esta unidad:
Temas relacionados (Saberes 2.°): teselaciones, polígonos regulares: construcción y ángulos. También: triangulación y por qué los triángulos dan rigidez y congruencia y semejanza de triángulos.
Referencias
- Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Nuestro libro de proyectos. Segundo grado. SEP, pp. 126-132.
- Grünbaum, B. y Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman.
