Construcción de polígonos regulares: ángulo central, ángulo interior y pasos con compás

Con un compás, una regla y un transportador puedes dibujar un pentágono, un hexágono o un dodecágono perfectos. El truco consiste en apoyarse en una circunferencia y en saber cuánto mide cada ángulo de la figura.

En tu libro: este tema está en las páginas 14 a 16 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Polígonos regulares e irregulares

Un polígono es una figura plana y cerrada formada por segmentos de recta llamados lados. Donde se unen dos lados hay un vértice, y entre dos lados consecutivos se forma un ángulo interior.

• Polígono regular: todos sus lados miden lo mismo y todos sus ángulos interiores son iguales. Ejemplos: triángulo equilátero, cuadrado, hexágono regular.
• Polígono irregular: al menos un lado o un ángulo es diferente. Ejemplos: rectángulo (ángulos iguales, pero lados distintos), rombo (lados iguales, pero ángulos distintos), triángulo escaleno.

En todo polígono, el número de lados, de vértices y de ángulos interiores es el mismo: un pentágono tiene 5 lados, 5 vértices y 5 ángulos.

Las dos medidas clave: ángulo central e interior

Si un polígono regular de $n$ lados está inscrito en una circunferencia, al unir el centro con sus vértices se forman $n$ triángulos iguales. El ángulo que queda en el centro de cada uno es el ángulo central:

$$\text{ángulo central} = \frac{360^\circ}{n}$$

La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono de $n$ lados es $180^\circ(n-2)$, porque se puede dividir en $n-2$ triángulos desde un vértice. En un polígono regular todos los ángulos son iguales, así que cada uno mide:

$$\text{ángulo interior} = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$$

Observa que el ángulo central y el ángulo interior siempre suman $180^\circ$.

La tabla de la página 15 del libro muestra los ángulos interiores del triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, eneágono y dodecágono; aquí añadimos el ángulo central, que es el que se usa para construirlos.

Pasos para construir un polígono regular

1. Traza una circunferencia de cualquier radio con centro en un punto $A$.
2. Calcula el ángulo central: divide $360^\circ$ entre el número de lados.
3. Traza un radio desde $A$ hasta un punto $B$ de la circunferencia.
4. Coloca el transportador sobre el radio, mide el ángulo central y marca un punto en la circunferencia. Repite desde la nueva marca hasta tener tantos puntos como lados.
5. Une los puntos consecutivos con la regla.
6. Comprueba con el transportador que todos los ángulos interiores miden lo que indica la tabla.

El polígono queda inscrito en la circunferencia: todos sus vértices están sobre ella.

Ejemplo del libro resuelto

Páginas 15 y 16: el pentágono regular

Para un pentágono, $n = 5$:

$$\text{ángulo central} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$$

Desde el radio $AB$ se marcan puntos cada $72^\circ$: en $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$, $288^\circ$ y $360^\circ$ (que coincide con el punto de partida). Al unirlos se obtiene el pentágono. Para comprobarlo, cada ángulo interior debe medir:

$$\frac{180^\circ(5-2)}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$$

Dos casos más

El hexágono, solo con compás

En el hexágono, el ángulo central es $360^\circ \div 6 = 60^\circ$, así que cada uno de los seis triángulos centrales es equilátero: el lado del hexágono mide lo mismo que el radio. Por eso basta con abrir el compás con la medida del radio y marcar seis arcos seguidos sobre la circunferencia, sin transportador.

El octágono

Para un octágono, $360^\circ \div 8 = 45^\circ$. Otra forma rápida: traza dos diámetros perpendiculares (eso da 4 vértices, como un cuadrado) y luego las bisectrices de los ángulos rectos; los 8 puntos donde cortan la circunferencia son los vértices. Cada ángulo interior mide $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuánto mide el ángulo central de un decágono regular?Ver respuestaOcultar respuesta

$360^\circ \div 10 = 36^\circ$.

2. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un heptágono regular? Redondea a décimos.Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{180^\circ(7-2)}{7} = \dfrac{900^\circ}{7} \approx 128.6^\circ$.

3. Un polígono regular tiene ángulos interiores de 150°. ¿Cuántos lados tiene?Ver respuestaOcultar respuesta

Su ángulo central mide $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$, así que tiene $360^\circ \div 30^\circ = 12$ lados: es un dodecágono.

4. ¿Un rombo es un polígono regular?Ver respuestaOcultar respuesta

No. Sus cuatro lados son iguales, pero sus ángulos no (salvo que sea un cuadrado). Un polígono regular necesita lados y ángulos iguales.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de geometría

Temas relacionados: construcción de triángulos y polígonos y teselaciones en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 14-16.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.

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