Teselaciones: qué son, teselados regulares y semirregulares y cómo construirlos
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Los azulejos de un baño, el panal de las abejas o un tablero de ajedrez tienen algo en común: cubren una superficie con figuras que no se enciman ni dejan huecos. A eso se le llama teselación, teselado o mosaico.
En tu libro: este tema está en las páginas 52 a 56 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).
Qué es una teselación
La palabra viene del latín tessella (azulejo, pieza pequeña). Una tesela es cada pieza del mosaico, y un teselado es el conjunto de piezas que cubre por completo un plano cumpliendo dos reglas:
- Las figuras no se sobreponen.
- No quedan huecos entre ellas.
Las teselaciones se usan desde la Antigüedad: los sumerios ya cubrían superficies con mosaicos hacia el 4000 a. n. e., y en el siglo XX el artista neerlandés M. C. Escher (1898-1972) creó mosaicos con peces, aves, lagartijas y figuras humanas que encajan perfectamente.
La regla de los 360°
Alrededor de cada vértice del mosaico, los ángulos de las figuras que se juntan deben sumar exactamente 360° (una vuelta completa):
- Si suman menos, queda un hueco.
- Si suman más, las figuras se enciman.
En el mosaico de cuadrados se juntan 4 ángulos de 90°: . En el de hexágonos, 3 ángulos de 120°: (página 54).
Teselados regulares
Usan un solo tipo de polígono regular. Solo existen tres:
| Polígono | Ángulo interior | Piezas por vértice | Suma |
|---|---|---|---|
| Triángulo equilátero | 60° | 6 | 360° |
| Cuadrado | 90° | 4 | 360° |
| Hexágono regular | 120° | 3 | 360° |
¿Por qué el pentágono no tesela? Su ángulo interior mide 108°, y 360 ÷ 108 ≈ 3.33 no es entero: con 3 pentágonos sobran 36° (hueco) y con 4 se enciman. Con polígonos de más de 6 lados el ángulo pasa de 120° y ni siquiera caben 3 alrededor de un vértice.
Teselados semirregulares
Combinan dos o más polígonos regulares, con la misma disposición en todos los vértices. El ejemplo del libro (página 55) es el de octágonos y cuadrados, muy común en pisos:
Otros ejemplos: dos triángulos y dos hexágonos alternados (), o tres triángulos y dos cuadrados ().
Teselados con polígonos irregulares
Cualquier triángulo y cualquier cuadrilátero teselan el plano: los tres ángulos de un triángulo suman 180° (dos copias alrededor de un punto dan 360°), y los de un cuadrilátero suman 360°. También existen pentágonos y hexágonos irregulares que teselan.
Teselados por movimientos en el plano
Las figuras de Escher se obtienen deformando un polígono que sí tesela y aplicando movimientos que conservan la forma y el tamaño (páginas 55 y 56):
- Traslación: se desliza la figura en una dirección, sin girarla.
- Rotación: se gira la figura alrededor de un punto.
- Reflexión: se refleja la figura como en un espejo respecto a una recta.
Truco para crear tu propia tesela por traslación: parte de un cuadrado, recorta una “mordida” de un lado y pégala en el lado opuesto, en la misma posición. La figura nueva tiene la misma área que el cuadrado y encaja consigo misma al trasladarla.
Comprueba lo aprendido
1. ¿Se puede teselar el plano solo con octágonos regulares?
No. Cada ángulo mide 135°: con dos se tienen 270° (quedan 90° libres) y con tres, 405° (se enciman). Por eso los pisos de octágonos llevan cuadrados en los huecos.
2. En un vértice de un mosaico se juntan un cuadrado, dos triángulos equiláteros y otra figura regular. ¿Qué figura falta?
; faltan , que es el ángulo interior del dodecágono regular.
3. ¿Qué movimiento se usa si la figura se desliza sin girar?
Una traslación.
Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:
Ejercicios resueltos de geometría
Temas relacionados: polígonos regulares y perímetro y área de figuras compuestas en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.
Referencias
- Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 52-56.
- Schattschneider, D. (2004). M. C. Escher: Visions of Symmetry. Harry N. Abrams.
