Congruencia y semejanza de triángulos: criterios y problemas resueltos

Dos triángulos pueden ser exactamente iguales (congruentes) o tener la misma forma aunque distinto tamaño (semejantes). Saber reconocerlo permite calcular medidas sin tener que medirlas y demostrar que dos ángulos o dos lados son iguales.

En tu libro: este tema está en las páginas 20 a 29 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP). Más abajo resolvemos sus seis ejemplos.

Triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes (símbolo $\cong$) cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño: sus lados correspondientes miden lo mismo y sus ángulos correspondientes también. Si pusieras uno encima del otro, coincidirían por completo.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \text{ si } \overline{AB} = \overline{A'B'},\ \overline{BC} = \overline{B'C'},\ \overline{CA} = \overline{C'A'} \text{ y } \angle A = \angle A',\ \angle B = \angle B',\ \angle C = \angle C'$$

Conviene escribir los vértices en el mismo orden en los dos triángulos: así se ve de inmediato qué lado corresponde a cuál.

Criterios de congruencia

No hace falta comprobar los seis datos. Basta con alguno de estos tres criterios:

Como los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, si dos ángulos coinciden, el tercero también. Por eso, si conoces dos ángulos y un lado correspondiente, puedes usar A-L-A.

Cuidado: que los tres ángulos sean iguales no basta para que sean congruentes: un triángulo puede ser una «ampliación» de otro. Eso es semejanza.

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes (símbolo $\sim$) cuando tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. Eso significa dos cosas:

1. Sus ángulos correspondientes son iguales.
2. Sus lados correspondientes son proporcionales: $\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'}$.

Todo par de triángulos congruentes es también semejante (con razón 1).

Criterios de semejanza

Ejemplos del libro resueltos (páginas 26 a 29)

Ejemplo 1: dos triángulos rectángulos

Problema: $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ son perpendiculares y $B$ es el punto medio de $\overline{AC}$. Demostrar que los ángulos $\alpha$ (en $A$) y $\beta$ (en $C$) son iguales.

1. $\overline{AB} = \overline{BC}$, porque $B$ es el punto medio de $\overline{AC}$.
2. $\angle ABD = \angle CBD = 90°$, porque las rectas son perpendiculares.
3. $\overline{BD}$ es un lado común a los dos triángulos.

Tenemos dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos, así que $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ por el criterio L-A-L. Sus ángulos correspondientes son iguales: $\alpha = \beta$.

Nota: el libro menciona el criterio L-L-L, pero con estos datos solo conocemos dos lados (el tercero, $\overline{AD} = \overline{CD}$, es justamente una consecuencia). El criterio que se aplica directamente es L-A-L.

Ejemplo 2: encontrar x y y

Problema: $E$ es el punto medio de $\overline{AB}$ y $\overline{AC} \parallel \overline{DB}$. Se sabe que $AC = 7$ y $ED = 12$; $x = CE$ y $y = DB$. Encontrar $x$ y $y$.

1. Los ángulos en $E$ son iguales porque son opuestos por el vértice.
2. $\overline{AE} = \overline{EB}$, porque $E$ es el punto medio.
3. $\angle A = \angle B$, porque son alternos internos entre las paralelas $\overline{AC}$ y $\overline{DB}$.

Un lado y sus dos ángulos adyacentes: $\triangle AEC \cong \triangle BED$ por A-L-A. Entonces sus lados correspondientes son iguales: $CE = ED$ y $DB = AC$.

Respuesta: $x = 12$ y $y = 7$.

Ejemplo 3: probar que dos ángulos son iguales

Problema: en la figura, $\overline{AH} = \overline{BR}$ y $\overline{BH} = \overline{AR}$. Probar que $\angle H = \angle R$.

Los triángulos $ABH$ y $BAR$ tienen $\overline{AH} = \overline{BR}$, $\overline{BH} = \overline{AR}$ y el lado $\overline{AB}$ en común. Son congruentes por L-L-L, y por eso sus ángulos correspondientes son iguales: $\angle H = \angle R$.

Ejemplo 4: calcular un lado con semejanza

Problema: $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$, y los segmentos se cortan en $C$. a) Demostrar que $\triangle ABC \sim \triangle DEC$. b) Si $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm y $CD = 3$ cm, encontrar $ED$.

a) $\angle BCA = \angle ECD$ por ser opuestos por el vértice, y $\angle CAB = \angle CDE$ por ser alternos internos entre paralelas. Con dos ángulos iguales, el tercero también lo es: los triángulos son semejantes por A-A-A.

b) Los lados correspondientes son proporcionales:

$$\frac{ED}{AB} = \frac{CD}{AC} \quad\Rightarrow\quad ED = \frac{CD}{AC} \times AB = \frac{3}{6} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$$

Respuesta: $ED = 4$ cm.

Ejemplo 5: semejanza por L-A-L

Problema: si $AE = 4$, $BE = 3$, $DE = 9$ y $CE = 12$, probar que $\triangle AEB \sim \triangle CED$.

• $\angle BEA = \angle DEC$, por ser opuestos por el vértice.
• Los lados que forman ese ángulo son proporcionales: $\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ y $\dfrac{BE}{DE} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual: los triángulos son semejantes por L-A-L, con razón $\frac{1}{3}$.

Ejemplo 6: semejanza por L-L-L

Problema: con $AB = 8$, $AC = 12$, $AE = 10$, $ED = DB = 3$ y $CD = 5$ (en cm), demostrar que $\triangle ABE \sim \triangle CBD$.

Primero se obtienen los lados que faltan:

• $BC = AC - AB = 12 - 8 = 4$
• $BE = BD + DE = 3 + 3 = 6$

Luego se comparan los lados correspondientes:

$$\frac{AE}{CD} = \frac{10}{5} = 2 \qquad \frac{AB}{BC} = \frac{8}{4} = 2 \qquad \frac{BE}{BD} = \frac{6}{3} = 2$$

Las tres razones valen 2: los lados son proporcionales y $\triangle ABE \sim \triangle CBD$ por L-L-L. El triángulo grande es el doble del pequeño.

¿Para qué sirve?

La congruencia y la semejanza se usan en arquitectura, construcción, ensamble de piezas, diseño de interiores y fabricación de autos, y también para medir distancias que no se pueden alcanzar, como la altura de un edificio a partir de su sombra.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué diferencia hay entre triángulos congruentes y semejantes?Ver respuestaOcultar respuesta

Los congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño; los semejantes tienen la misma forma, pero sus lados solo son proporcionales.

2. Si dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales, ¿son congruentes?Ver respuestaOcultar respuesta

No necesariamente. Son semejantes (criterio A-A-A), pero uno puede ser más grande que el otro.

3. Un triángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm, y otro de 6, 8 y 10 cm. ¿Qué relación hay entre ellos?Ver respuestaOcultar respuesta

Son semejantes por L-L-L: $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de geometría y medida

Temas relacionados: el teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y área y volumen de sólidos en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 20-29.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.
• Clemens, S. R., O’Daffer, P. G. y Cooney, T. J. (1998). Geometría. Addison Wesley Longman.

Ver libro de texto (SEP)