Hidrodinámica: gasto, ecuación de continuidad y ecuación de Bernoulli

Si tapas con el dedo parte de la salida de una manguera, el agua sale más rápido. Un avión de cientos de toneladas se sostiene en el aire. Ambos fenómenos los explica la hidrodinámica, la parte de la física que estudia los fluidos en movimiento.

El fluido ideal

Para simplificar, se supone un fluido incompresible (su densidad no cambia), sin viscosidad (sin fricción interna) y con flujo estacionario (la velocidad en cada punto no cambia con el tiempo).

Gasto y flujo

El gasto (o caudal) es el volumen de fluido que pasa por una sección en cada unidad de tiempo:

$$Q = \frac{V}{t} = A\,v \qquad (\text{m}^3/\text{s})$$

donde $A$ es el área de la sección del tubo y $v$ la velocidad del fluido.

El flujo de masa es la masa que pasa por segundo: $F = \rho\,Q$ (kg/s).

Ejemplo: ¿cuánto tarda en llenarse un tinaco de 200 L (0.2 m³) con un gasto de 0.004 m³/s?

$$t = \frac{V}{Q} = \frac{0.2}{0.004} = 50\ \text{s}$$

Ecuación de continuidad

Como el fluido es incompresible, el mismo volumen que entra por un extremo de un tubo sale por el otro. Por eso el gasto es constante:

$$A_1\,v_1 = A_2\,v_2$$

Donde el tubo es más angosto, el fluido va más rápido.

Ejemplo: el agua sale de una manguera de 2 cm² a 3 m/s. Si se le coloca una boquilla de 0.5 cm²:

$$v_2 = v_1\,\frac{A_1}{A_2} = 3\cdot\frac{2}{0.5} = 12\ \text{m/s}$$

Para tubos circulares, $A = \pi r^2$: si el diámetro se reduce a la mitad, el área baja a la cuarta parte y la velocidad se cuadruplica.

Ecuación de Bernoulli

Aplica la conservación de la energía a un fluido en movimiento. A lo largo de una línea de corriente:

$$P + \frac{1}{2}\rho\,v^2 + \rho\,g\,h = \text{constante}$$

• $P$: presión.
• $\frac{1}{2}\rho v^2$: energía cinética por unidad de volumen.
• $\rho g h$: energía potencial por unidad de volumen.

Consecuencia principal: a la misma altura, donde el fluido va más rápido, la presión es menor.

Aplicaciones

• Alas de avión: su forma hace que el aire pase más rápido por arriba que por abajo; la presión arriba es menor y aparece una fuerza de sustentación hacia arriba.
• Atomizadores y carburadores: el aire que pasa rápido sobre un tubo reduce la presión y succiona el líquido.
• Tubo de Venturi: mide la velocidad de un fluido a partir de la diferencia de presiones entre una parte ancha y una angosta.

Teorema de Torricelli

La velocidad con que sale un líquido por un orificio situado a una profundidad $h$ bajo la superficie es la misma que la de un cuerpo en caída libre desde esa altura:

$$v = \sqrt{2gh}$$

Ejemplo: por un orificio a 5 m bajo la superficie de un tanque sale agua a $v = \sqrt{2(9.8)(5)} = \sqrt{98} \approx 9.9$ m/s.

Viscosidad

Es la fricción interna de un fluido: su resistencia a fluir. La miel y el aceite son más viscosos que el agua. La viscosidad de los líquidos disminuye al calentarlos (por eso la miel caliente fluye mejor). En los fluidos reales, la viscosidad hace que parte de la energía se pierda, y que el fluido avance más rápido en el centro de un tubo que junto a las paredes.

Comprueba lo aprendido

1. Por un tubo de 0.02 m² circula agua a 2 m/s. ¿Cuál es el gasto?Ver respuestaOcultar respuesta

$Q = Av = 0.02(2) = 0.04$ m³/s (40 litros por segundo).

2. ¿Por qué el agua sale más rápido al tapar parcialmente la manguera?Ver respuestaOcultar respuesta

Por la ecuación de continuidad: al reducir el área, la velocidad debe aumentar para que el gasto sea el mismo.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de fluidos

Referencias

• Tippens, P. E. (2011). Física: conceptos y aplicaciones (7.ª ed.). McGraw-Hill.
• Serway, R. A. y Jewett, J. W. (2018). Física para ciencias e ingeniería (10.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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