Ley de la gravitación universal y leyes de Kepler

Newton se dio cuenta de que la fuerza que hace caer una manzana es la misma que mantiene a la Luna en órbita alrededor de la Tierra. Esa idea, una sola ley para la Tierra y el cielo, es la ley de la gravitación universal.

Ley de la gravitación universal

Dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.

$$F = G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2}$$

• $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ es la constante de gravitación universal, medida por Henry Cavendish en 1798.
• La fuerza siempre es de atracción y actúa sobre ambos cuerpos con la misma magnitud (tercera ley de Newton).

Ejemplo: dos masas de 1 000 kg separadas 1 m:

$$F = 6.67\times10^{-11}\,\frac{(1000)(1000)}{1^2} = 6.67\times 10^{-5}\ \text{N}$$

Es una fuerza diminuta: la gravedad solo es notable cuando al menos una de las masas es enorme, como un planeta.

Proporcionalidad con la distancia

Como la fuerza depende de $\dfrac{1}{r^2}$:

La gravedad en la superficie de un planeta

El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria del planeta sobre él: $mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$. De ahí:

$$g = \frac{G\,M}{R^2}$$

Para la Tierra ($M = 5.97\times10^{24}$ kg, $R = 6.37\times10^{6}$ m):

$$g = \frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})}{(6.37\times10^{6})^2} \approx 9.8\ \text{m/s}^2$$

Por eso la gravedad en la Luna (menos masa) es de solo $1.62\ \text{m/s}^2$.

Las leyes de Kepler

Antes de Newton, Johannes Kepler analizó las observaciones de Tycho Brahe y descubrió tres leyes del movimiento de los planetas:

1. Ley de las órbitas: los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos de la elipse.
2. Ley de las áreas: la línea que une al planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Por eso el planeta va más rápido cuando está más cerca del Sol (perihelio) y más lento cuando está más lejos (afelio).
3. Ley de los periodos: el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo de la distancia media al Sol: $T^2 \propto r^3$. Los planetas lejanos tardan mucho más en dar una vuelta.

• órbita elíptica

Ejemplo con la tercera ley: si un planeta está a una distancia 4 veces mayor que la de la Tierra, su periodo es $T = \sqrt{4^3} = 8$ años terrestres.

Newton demostró que las tres leyes de Kepler se deducen de su ley de gravitación universal.

Comprueba lo aprendido

1. Si la distancia entre dos cuerpos se triplica, ¿qué pasa con la fuerza gravitatoria?Ver respuestaOcultar respuesta

Se divide entre $3^2 = 9$.

2. ¿En qué punto de su órbita un planeta se mueve más rápido?Ver respuestaOcultar respuesta

En el perihelio, el punto más cercano al Sol (segunda ley de Kepler).

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de fuerzas y leyes de Newton

Referencias

• Hewitt, P. G. (2007). Física conceptual (10.ª ed.). Pearson Educación.
• Serway, R. A. y Jewett, J. W. (2018). Física para ciencias e ingeniería (10.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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