Tiro parabólico: movimiento de proyectiles

Un balón pateado, una bala de cañón o el agua de una manguera siguen una trayectoria curva: una parábola. La clave para analizar este movimiento es una idea de Galileo: el movimiento horizontal y el vertical son independientes.

La idea central

Un proyectil lanzado con velocidad $v_0$ y ángulo $\theta$ sobre la horizontal combina dos movimientos:

• Horizontal: MRU. No hay fuerza horizontal (sin aire), así que la velocidad horizontal es constante.
• Vertical: tiro vertical. La gravedad frena al proyectil al subir y lo acelera al bajar.

Componentes de la velocidad inicial

Con razones trigonométricas:

$$v_x = v_0\cos\theta \qquad\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta$$

Ecuaciones del movimiento

Fórmulas derivadas (para lanzamiento y caída a la misma altura):

$$t_{\text{vuelo}} = \frac{2v_0\sin\theta}{g} \qquad h_{\text{máx}} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} \qquad R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$

donde $R$ es el alcance horizontal.

Ejemplo resuelto

Un balón se patea a 20 m/s con un ángulo de 30°. Calcula el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance.

Componentes: $v_x = 20\cos 30° \approx 17.32\ \text{m/s}$ y $v_{0y} = 20\sin 30° = 10\ \text{m/s}$.

$$t_{\text{vuelo}} = \frac{2(10)}{9.8} \approx 2.04\ \text{s} \qquad h_{\text{máx}} = \frac{10^2}{2(9.8)} \approx 5.10\ \text{m} \qquad R = 17.32(2.04) \approx 35.3\ \text{m}$$

• trayectoria del balón

El ángulo de máximo alcance

Como $\sin 2\theta$ vale como máximo 1 cuando $2\theta = 90°$, el alcance es máximo con 45°. Además, dos ángulos complementarios (que suman 90°), como 30° y 60°, dan el mismo alcance, aunque con alturas distintas.

Tiro horizontal

Si el proyectil se lanza horizontalmente desde una altura $h$ (por ejemplo, una canica que rueda y cae de una mesa), la velocidad vertical inicial es cero:

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \qquad\qquad x = v_x\,t$$

Ejemplo: una canica sale de una mesa de 1.25 m de altura a 3 m/s.

$$t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} \approx 0.505\ \text{s} \qquad x = 3(0.505) \approx 1.52\ \text{m}$$

Cae a 1.52 m del borde. Observa que el tiempo de caída es el mismo que si la canica se soltara desde el borde: el movimiento horizontal no afecta al vertical.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué velocidad tiene un proyectil en su punto más alto?Ver respuestaOcultar respuesta

Solo la componente horizontal, $v_x = v_0\cos\theta$. La componente vertical es cero en ese instante.

2. Un proyectil se lanza a 30 m/s con un ángulo de 45°. ¿Cuál es su alcance?Ver respuestaOcultar respuesta

$R = \dfrac{30^2\sin 90°}{9.8} = \dfrac{900}{9.8} \approx 91.8\ \text{m}$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de MRUA, caída libre y tiro parabólico

Referencias

• Tippens, P. E. (2011). Física: conceptos y aplicaciones (7.ª ed.). McGraw-Hill.
• Serway, R. A. y Jewett, J. W. (2018). Física para ciencias e ingeniería (10.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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