«Carta desde Varsovia»: el copo de Koch, el triángulo de Sierpinski y otros fractales explicados

Un viajero escribe a su amiga Ana desde Varsovia, a −26 °C, y le cuenta que en esa ciudad las nubes están hechas de triángulos, los copos de nieve tienen la forma de un copo de Koch y el arcoíris es un «continuo de Knaster». Es una carta inventada y llena de humor del matemático Juan Manuel Ruisánchez Serra, que mezcla datos reales de Polonia con figuras matemáticas famosas, casi todas creadas por matemáticos polacos.

En tu libro: «Carta desde Varsovia» está en las páginas 48 a 53 de Múltiples lenguajes. Primer grado (SEP), ilustrada por María Guadalupe Pacheco Marcos.

Lo real y lo inventado

Nota: la carta dice que Sierpinski «vivió a finales del siglo XIX y principios del XX». Wacław Sierpiński nació en 1882 y murió en 1969, así que vivió y trabajó sobre todo en el siglo XX. Y las «islas de Wada» tampoco son polacas: los lagos de Wada son una construcción del matemático japonés Kunizō Yoneyama (1917), que la atribuyó a su maestro Takeo Wada.

Figuras autosemejantes y fractales

Una figura es autosemejante cuando cada parte se parece a la figura completa: si haces zoom, ves lo mismo una y otra vez. A muchas de estas figuras se les llama fractales (nombre que propuso Benoît Mandelbrot en 1975). En la naturaleza hay formas parecidas: las ramas de un árbol, un helecho, el brócoli romanesco, los relámpagos o la costa de un país.

El triángulo de Sierpinski

Construcción: parte de un triángulo equilátero relleno, une los puntos medios de sus lados y quita el triángulo central. Te quedan 3 triángulos. Repite lo mismo con cada uno… infinitas veces.

Como cada paso conserva solo $\frac{3}{4}$ del área, al repetir infinitas veces el área se acerca a cero, aunque la figura sigue teniendo infinitos puntos.

El copo de nieve de Koch

Construcción: parte de un triángulo equilátero. Divide cada lado en tres partes iguales y, sobre el tercio central, dibuja hacia afuera un triángulo equilátero más pequeño (quitando su base). Repite con cada nuevo lado, infinitas veces.

Si el triángulo inicial tiene lados de 1 unidad:

En cada paso el perímetro se multiplica por $\frac{4}{3}$, así que crece sin límite: el copo de Koch tiene perímetro infinito. Sin embargo, la figura cabe en un círculo, así que su área es finita (exactamente $\frac{8}{5}$ del área del triángulo inicial). ¡Una figura con borde infinito que encierra un área limitada!

Otros «continuos» de la carta

• Conjunto de Cantor: divide un segmento en tres partes, quita la del centro y repite con las demás. Queda una «nube» infinita de puntos.
• Tapete de Sierpinski: como el triángulo, pero con un cuadrado dividido en 9 y quitando el del centro.
• Esponja de Menger: la versión en tres dimensiones del tapete, con un cubo.

Comprueba lo aprendido

1. Si el triángulo inicial del copo de Koch tiene lados de 9 cm, ¿cuánto mide el perímetro en el paso 2?Ver respuestaOcultar respuesta

En el paso 2 hay $3 \cdot 4^2 = 48$ lados, cada uno de $\frac{9}{9} = 1$ cm. El perímetro es 48 cm. También: $27 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{16}{9} = 48$ cm.

2. ¿Por qué decimos que la carta es una ficción aunque habla de matemáticas reales?Ver respuestaOcultar respuesta

Porque las figuras y los matemáticos son reales, pero los fenómenos que describe (nubes de triángulos, copos de Koch, arcoíris de Knaster, tapetes tradicionales) son inventados para jugar con la idea de que en Varsovia «todo es matemático».

Practica con los ejercicios de esta unidad:

Ejercicios de Matemáticas

Temas relacionados: el Gran Hotel Cantor y el infinito y flexágonos.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Primer grado. SEP, pp. 48-53.
• Mandelbrot, B. (1997). La geometría fractal de la naturaleza. Tusquets.

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