«El Gran Hotel Cantor», de Juan Manuel Ruisánchez: el hotel infinito de Hilbert explicado paso a paso
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Un hotel está lleno y llega un huésped más. En cualquier hotel normal le dirían «no hay lugar». En el Gran Hotel Cantor, que tiene infinitas habitaciones, el recepcionista solo toma el micrófono y pide a todos que se cambien de cuarto. El cuento de Juan Manuel Ruisánchez Serra narra, a través de un hijo que recuerda las historias de su papá, una de las ideas más sorprendentes de las matemáticas: el infinito no se comporta como los números comunes.
En tu libro: «El Gran Hotel Cantor» está en las páginas 108 a 113 de Múltiples lenguajes. Primer grado (SEP), ilustrado por Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero.
La regla del hotel
Quien se hospeda acepta que lo pueden cambiar de habitación varias veces. Las habitaciones están numeradas 1, 2, 3, 4… sin final.
Truco 1: llega un huésped más
El recepcionista pide: «súmele 1 al número de su habitación y cámbiese a esa».
| Antes | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Después | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
La habitación 1 queda libre para el nuevo huésped. Nadie se queda sin cuarto porque no hay una última habitación: siempre existe la .
Truco 2: llegan infinitos huéspedes
Esta vez pide: «multiplique por 2 el número de su habitación».
| Antes | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Después | 2 | 4 | 6 | 8 | … |
Ahora los huéspedes ocupan solo las habitaciones pares, y quedan libres todas las impares (1, 3, 5, 7…), que también son infinitas. Ahí caben los infinitos nuevos huéspedes: el primero en la 1, el segundo en la 3, el tercero en la 5…
Truco 3: infinitas excursiones con infinitas personas cada una
Aquí entran los números primos (los que solo se dividen entre 1 y entre sí mismos: 2, 3, 5, 7, 11…). Hay infinitos números primos, como demostró Euclides hace más de 2 000 años.
- Solo se mudan los huéspedes cuya habitación es una potencia de un primo, . Pasan a la habitación (el exponente se duplica, así que queda par). Por ejemplo, el de la pasa a la .
- Ahora están libres todas las potencias impares de primos:
- A cada excursión se le asigna un primo (la primera, el 2; la segunda, el 3; la tercera, el 5…), y cada persona de esa excursión ocupa una potencia impar de ese primo.
| Excursión (primo) | Persona 1 | Persona 2 | Persona 3 | … |
|---|---|---|---|---|
| Primera (2) | … | |||
| Segunda (3) | … | |||
| Tercera (5) | … |
¡Y todavía sobran habitaciones! Las que no son potencias de un solo primo (como la 6, la 10 o la 12) nunca se movieron.
¿Qué nos enseña?
Con los conjuntos infinitos pasan cosas imposibles con los finitos: un conjunto infinito puede tener la misma cantidad de elementos que una parte de sí mismo. Hay tantos números pares como números naturales, porque se pueden emparejar uno a uno (). Georg Cantor estudió estas ideas y demostró además que existen infinitos de distintos tamaños: por ejemplo, hay «más» números reales que números naturales.
Nota: el cuento dice que Georg Cantor fue «un matemático ruso». Cantor nació en San Petersburgo (Rusia) en 1845, pero su familia se mudó a Alemania cuando era niño y desarrolló toda su obra allí: es considerado un matemático alemán. Además, la historia del hotel infinito no es de Cantor: la propuso David Hilbert en una conferencia de 1924, por lo que se le conoce como el hotel de Hilbert; la popularizó después George Gamow.
Comprensión
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¿Qué indicación da el recepcionista para alojar a un huésped más? → Sumar 1 al número de habitación
Después de multiplicar por 2, ¿qué habitaciones quedan libres? → Las impares
¿A dónde se muda el huésped de la habitación 25 en el truco 3? → A la 625, porque 25 = 5² y pasa a 5⁴
Completa las mudanzas
a) Truco 1: el huésped de la habitación 99 pasa a la .
b) Truco 2: el huésped de la habitación 15 pasa a la .
c) Truco 3: el huésped de la habitación 8 = 2³ pasa a la .
d) Truco 3: la segunda persona de la excursión del primo 7 ocupa la habitación .
Ver respuestas
a) Truco 1: el huésped de la habitación 99 pasa a la 100.
b) Truco 2: el huésped de la habitación 15 pasa a la 30.
c) Truco 3: el huésped de la habitación 8 = 2³ pasa a la 64.
d) Truco 3: la segunda persona de la excursión del primo 7 ocupa la habitación 343.
Comprueba lo aprendido
1. ¿Por qué en un hotel con 1 000 habitaciones llenas no funciona el truco de «sumar 1»?
Porque el huésped de la habitación 1 000 tendría que pasar a la 1 001, que no existe: en un hotel finito hay una última habitación. En el hotel infinito siempre hay una habitación siguiente.
2. Si llegan 3 huéspedes nuevos al hotel lleno, ¿qué indicación daría el recepcionista?
«Súmele 3 al número de su habitación». Así quedan libres las habitaciones 1, 2 y 3 para los recién llegados.
Practica con los ejercicios de esta unidad:
Temas relacionados: fractales: el copo de Koch y el triángulo de Sierpinski y el cerebro de Einstein.
Referencias
- Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Primer grado. SEP, pp. 108-113.
- Gamow, G. (1947). Uno, dos, tres… infinito. Varias ediciones en español.
- Kragh, H. (2014). «The true (?) story of Hilbert’s infinite hotel». arXiv, 1403.0059.
¿Te quedó alguna duda?
Repasa el tema en el curso de Múltiples lenguajes 1 o mira las explicaciones en video de nuestro canal.
