La elipse: elementos, ecuaciones y excentricidad

Las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses, con el Sol en uno de sus focos (primera ley de Kepler). La elipse es una «circunferencia achatada» y se describe con dos medidas: su semieje mayor $a$ y su semieje menor $b$.

Definición y elementos

Una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante e igual a $2a$.

• Centro ($C$): punto medio entre los focos.
• Vértices ($V$): extremos del eje mayor, a una distancia $a$ del centro.
• Focos ($F$): sobre el eje mayor, a una distancia $c$ del centro.
• Eje mayor: mide $2a$. Eje menor: mide $2b$.
• Relación fundamental: $a^2 = b^2 + c^2$ (con $a > b$ y $a > c$).
• Lado recto: $LR = \dfrac{2b^2}{a}$.
• Excentricidad: $e = \dfrac{c}{a}$, con $0 < e < 1$. Mientras más cerca de 0, más redonda; si $e = 0$, es una circunferencia.

Elipse con centro en el origen

El número mayor de los denominadores es $a^2$ y está debajo de la variable del eje mayor.

Ejemplo: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. Como $25 > 9$, el eje mayor es horizontal: $a = 5$, $b = 3$ y $c = \sqrt{25 - 9} = 4$.

• Vértices $(\pm 5,\, 0)$; extremos del eje menor $(0,\, \pm 3)$; focos $(\pm 4,\, 0)$.
• Lado recto: $\dfrac{2(9)}{5} = \dfrac{18}{5}$. Excentricidad: $e = \dfrac{4}{5}$.

• x²/25 + y²/9 = 1

A partir de datos: vértices $(0,\, \pm 10)$ y focos $(0,\, \pm 6)$. Eje vertical, $a = 10$, $c = 6$, así que $b^2 = 100 - 36 = 64$:

$$\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100} = 1$$

Elipse con centro (h, k)

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad\text{(horizontal)} \qquad\qquad \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \quad\text{(vertical)}$$

Ecuación general

$$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, \qquad A \text{ y } C \text{ del mismo signo y } A \neq C$$

(Si $A = C$, es una circunferencia).

De la forma general a la ordinaria: $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$. Se agrupa, se factoriza el coeficiente y se completan cuadrados:

$$\begin{aligned} 4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) &= 11 \\ 4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 2y + 1) &= 11 + 16 + 9 \\ 4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 &= 36 \\ \frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} &= 1 \end{aligned}$$

Centro $(2,\, -1)$, $a = 3$ (horizontal), $b = 2$, $c = \sqrt{5}$. Vértices $(5,\, -1)$ y $(-1,\, -1)$; focos $(2 \pm \sqrt{5},\, -1)$.

Al completar cuadrados, recuerda que lo que sumas dentro del paréntesis se multiplica por el coeficiente de afuera (aquí, $4\cdot 4 = 16$ y $9\cdot 1 = 9$).

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuáles son los vértices y focos de $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$?Ver respuestaOcultar respuesta

Eje vertical: $a = 5$, $b = 3$, $c = 4$. Vértices $(0,\, \pm 5)$ y focos $(0,\, \pm 4)$.

2. ¿Cuál es la excentricidad de $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$?Ver respuestaOcultar respuesta

$c = \sqrt{25 - 16} = 3$, así que $e = \dfrac{3}{5}$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la elipse

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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