Razones trigonométricas y solución de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo, los cocientes entre sus lados dependen solo de sus ángulos, no de su tamaño. Esos cocientes son las razones trigonométricas, y con ellas puedes calcular alturas, distancias y ángulos que no se pueden medir directamente.

Lados de un triángulo rectángulo

Respecto a un ángulo agudo $\theta$:

• Hipotenusa: el lado más largo, opuesto al ángulo recto.
• Cateto opuesto: el que está enfrente de $\theta$.
• Cateto adyacente: el que forma $\theta$ junto con la hipotenusa.

Las seis razones trigonométricas

Una regla para recordarlas es SOH-CAH-TOA: Seno = Opuesto/Hipotenusa, Coseno = Adyacente/Hipotenusa, Tangente = Opuesto/Adyacente. En los libros en español, el seno también se escribe $\operatorname{sen}\theta$.

Ejemplo: en el triángulo de la figura, los catetos miden 3 y 4, así que la hipotenusa mide $\sqrt{3^2+4^2} = 5$ (teorema de Pitágoras):

$$\sin\theta = \frac{3}{5} \qquad \cos\theta = \frac{4}{5} \qquad \tan\theta = \frac{3}{4} \qquad \csc\theta = \frac{5}{3} \qquad \sec\theta = \frac{5}{4} \qquad \cot\theta = \frac{4}{3}$$

Valores de los ángulos notables

Se obtienen de un triángulo equilátero partido a la mitad (30° y 60°) y de un cuadrado partido por su diagonal (45°):

Truco para memorizar el seno: $\dfrac{\sqrt{0}}{2},\; \dfrac{\sqrt{1}}{2},\; \dfrac{\sqrt{2}}{2},\; \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. El coseno es la misma lista al revés.

Resolver un triángulo rectángulo

Resolver un triángulo es encontrar todos sus lados y ángulos. Recuerda que los dos ángulos agudos suman 90°.

Ejemplo: la hipotenusa mide 10 cm y un ángulo mide 30°. ¿Cuánto miden los catetos?

$$\text{opuesto} = 10\sin 30° = 10\cdot\frac{1}{2} = 5 \text{ cm} \qquad \text{adyacente} = 10\cos 30° = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ cm}$$

El otro ángulo agudo mide $90° - 30° = 60°$.

Para encontrar un ángulo se usa la función inversa: si $\tan\theta = \dfrac{3}{4}$, entonces $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87°$.

Ángulos de elevación y de depresión

• Ángulo de elevación: entre la horizontal y la línea de visión cuando miras hacia arriba.
• Ángulo de depresión: entre la horizontal y la línea de visión cuando miras hacia abajo.

Ejemplo: un árbol proyecta una sombra de 12 m cuando el ángulo de elevación del Sol es de 40°. ¿Cuánto mide el árbol?

$$\tan 40° = \frac{h}{12} \;\Rightarrow\; h = 12\tan 40° \approx 12(0.8391) \approx 10.07 \text{ m}$$

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuánto vale $\sin 30° + \cos 60°$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.

2. Si $\cos\theta = \frac{2}{3}$, ¿cuánto vale $\sec\theta$?Ver respuestaOcultar respuesta

Es su recíproca: $\sec\theta = \dfrac{3}{2}$.

3. Una escalera de 6 m forma un ángulo de 60° con el piso. ¿A qué altura llega?Ver respuestaOcultar respuesta

$h = 6\sin 60° = 6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2$ m.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de trigonometría

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. Grupo Editorial Patria.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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