Movimiento circular uniforme (MCU): periodo, frecuencia, velocidad angular y aceleración centrípeta

Las manecillas de un reloj, las aspas de un ventilador, una rueda de la fortuna o un satélite en órbita tienen algo en común: giran describiendo una circunferencia y tardan siempre lo mismo en dar cada vuelta. Ese es el movimiento circular uniforme (MCU).

Qué es el MCU

Un cuerpo tiene movimiento circular uniforme cuando su trayectoria es una circunferencia y recorre arcos iguales en tiempos iguales: su rapidez es constante.

Pero cuidado: que la rapidez no cambie no significa que no haya aceleración. La velocidad es un vector, y en cada punto de la circunferencia apunta en una dirección distinta (siempre tangente a la trayectoria). Como la dirección de la velocidad cambia todo el tiempo, el MCU sí es un movimiento acelerado. Esa es la gran diferencia con el MRU.

• trayectoria

Ángulos en radianes

En el movimiento circular los giros se miden con el desplazamiento angular $\theta$, en radianes (rad):

$$1\ \text{vuelta} = 1\ \text{revolución} = 360° = 2\pi\ \text{rad}$$

Si necesitas repasar la conversión, consulta grados y radianes.

Periodo y frecuencia

• Periodo ($T$): el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se mide en segundos.
• Frecuencia ($f$): el número de vueltas por unidad de tiempo. Se mide en hertz (Hz), que equivale a vueltas por segundo ($\text{s}^{-1}$).

Una es la inversa de la otra:

$$f = \frac{1}{T} \qquad\qquad T = \frac{1}{f}$$

También se usan las revoluciones por minuto (rpm). Como un minuto tiene 60 s, $1\ \text{rpm} = \dfrac{1}{60}\ \text{Hz}$.

Velocidad angular

La velocidad angular ($\omega$, omega) indica qué ángulo gira el cuerpo en cada unidad de tiempo. Se mide en rad/s:

$$\omega = \frac{\theta}{t}$$

En una vuelta completa el ángulo es $2\pi$ rad y el tiempo es $T$, así que:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Para pasar de rpm a rad/s, multiplica por $\dfrac{2\pi}{60}$: por ejemplo, $90\ \text{rpm} = 90 \cdot \dfrac{2\pi}{60} \approx 9.42\ \text{rad/s}$.

Velocidad tangencial

La velocidad tangencial o lineal ($v$) es la rapidez con la que el cuerpo recorre la circunferencia, en m/s. En una vuelta recorre el perímetro $2\pi r$ en un tiempo $T$:

$$v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f = \omega\, r$$

Su dirección es siempre tangente a la circunferencia: si se rompe la cuerda con la que giras una piedra, la piedra sale en línea recta por la tangente.

Todos los puntos de un disco que gira tienen la misma velocidad angular, pero no la misma velocidad tangencial: los que están más lejos del centro recorren una circunferencia más grande en el mismo tiempo y van más rápido ($v = \omega r$).

Aceleración centrípeta

Como la velocidad cambia de dirección, existe una aceleración que apunta siempre hacia el centro de la circunferencia: la aceleración centrípeta ($a_c$).

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

No cambia la rapidez del cuerpo; solo «dobla» su trayectoria. Observa que depende del cuadrado de la velocidad: si la rapidez se duplica, la aceleración centrípeta se cuadruplica.

Fuerza centrípeta

Por la segunda ley de Newton, si hay aceleración hacia el centro debe haber una fuerza neta hacia el centro:

$$F_c = m\,a_c = \frac{m v^2}{r} = m\,\omega^2 r$$

La fuerza centrípeta no es un tipo nuevo de fuerza: es el nombre de la fuerza (o suma de fuerzas) que mantiene al cuerpo girando.

La «fuerza centrífuga» que sientes en una curva no es una fuerza real que te empuje hacia afuera: es tu inercia, la tendencia de tu cuerpo a seguir en línea recta mientras el auto gira.

Resumen de fórmulas

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: la rueda de la fortuna

Una rueda de la fortuna de 10 m de radio da una vuelta cada 40 s. Calcula la frecuencia, la velocidad angular, la velocidad tangencial de una canastilla y su aceleración centrípeta.

El periodo es $T = 40\ \text{s}$.

$$f = \frac{1}{40} = 0.025\ \text{Hz}$$

$$\omega = \frac{2\pi}{40} \approx 0.157\ \text{rad/s}$$

$$v = \omega r = 0.157(10) \approx 1.57\ \text{m/s}$$

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{1.57^2}{10} \approx 0.25\ \text{m/s}^2$$

Ejemplo 2: un disco a 300 rpm

Un disco gira a 300 rpm. Calcula su frecuencia, su periodo, su velocidad angular y la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de un punto situado a 12 cm del centro.

$$f = \frac{300}{60} = 5\ \text{Hz}$$

$$T = \frac{1}{5} = 0.2\ \text{s}$$

$$\omega = 2\pi(5) \approx 31.4\ \text{rad/s}$$

Con $r = 0.12\ \text{m}$:

$$v = \omega r = 31.4(0.12) \approx 3.77\ \text{m/s}$$

$$a_c = \omega^2 r = (31.4)^2(0.12) \approx 118\ \text{m/s}^2$$

Ejemplo 3: un auto en una curva

Un auto de 1200 kg toma una curva de 50 m de radio a 20 m/s (72 km/h). ¿Qué aceleración centrípeta tiene y qué fuerza de fricción necesita para no derrapar?

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{20^2}{50} = 8\ \text{m/s}^2$$

$$F_c = m\,a_c = 1200(8) = 9600\ \text{N}$$

Si el pavimento está mojado y la fricción no alcanza los 9600 N, el auto se sale de la curva por la tangente.

Ejemplo 4: una piedra atada a una cuerda

Una piedra de 0.5 kg gira en un círculo horizontal de 0.8 m de radio dando 2 vueltas por segundo. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

$$\omega = 2\pi f = 2\pi(2) \approx 12.57\ \text{rad/s}$$

$$F_c = m\,\omega^2 r = 0.5(12.57)^2(0.8) \approx 63.2\ \text{N}$$

MRU y MCU frente a frente

Errores comunes

• Creer que en el MCU no hay aceleración porque la rapidez es constante. La hay: la centrípeta.
• Usar grados en lugar de radianes. En $v = \omega r$ y $a_c = \omega^2 r$, $\omega$ debe estar en rad/s.
• Olvidar convertir las rpm. Divide entre 60 para obtener Hz y multiplica por $2\pi$ para obtener rad/s.
• Confundir periodo con frecuencia. Si da 4 vueltas por segundo, $f = 4\ \text{Hz}$ y $T = 0.25\ \text{s}$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Por qué el MCU es un movimiento acelerado si la rapidez no cambia?Ver respuestaOcultar respuesta

Porque la dirección de la velocidad cambia en cada punto. Ese cambio lo produce la aceleración centrípeta, que apunta al centro y vale $a_c = v^2/r$.

2. ¿Cuál es la velocidad angular del minutero de un reloj?Ver respuestaOcultar respuesta

El minutero da una vuelta en $T = 60\ \text{min} = 3600\ \text{s}$, así que $\omega = \dfrac{2\pi}{3600} \approx 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad/s}$.

3. La Tierra da una vuelta sobre su eje en 24 h y su radio es de 6.37 × 10⁶ m. ¿Con qué velocidad tangencial se mueve un punto del ecuador?Ver respuestaOcultar respuesta

$T = 24(3600) = 86\,400\ \text{s}$. Entonces $v = \dfrac{2\pi r}{T} = \dfrac{2\pi(6.37 \times 10^6)}{86\,400} \approx 463\ \text{m/s}$, unos 1670 km/h.

4. Una llanta de 0.3 m de radio gira a 600 rpm. ¿A qué velocidad avanza el auto?Ver respuestaOcultar respuesta

$f = 600/60 = 10\ \text{Hz}$ y $\omega = 2\pi(10) \approx 62.8\ \text{rad/s}$. La velocidad tangencial de la orilla de la llanta es $v = \omega r = 62.8(0.3) \approx 18.8\ \text{m/s}$, unos 68 km/h.

5. ¿Qué fuerza mantiene a un satélite en órbita circular?Ver respuestaOcultar respuesta

La gravedad de la Tierra, que actúa como fuerza centrípeta. Lo verás en gravitación universal y leyes de Kepler.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de MRUA, caída libre, tiro parabólico y MCU

Temas relacionados: tiro parabólico, las tres leyes de Newton y gravitación universal.

Referencias

• Tippens, P. E. (2011). Física: conceptos y aplicaciones (7.ª ed.). McGraw-Hill.
• Serway, R. A. y Jewett, J. W. (2018). Física para ciencias e ingeniería (10.ª ed.). Cengage Learning.
• Hewitt, P. G. (2016). Física conceptual (12.ª ed.). Pearson Educación.

Ver Libro