Ángulos: grados, radianes y conversión entre sistemas

La trigonometría estudia la relación entre los ángulos y los lados de los triángulos. Antes de entrar a senos y cosenos, necesitas medir ángulos con soltura en los dos sistemas que se usan: grados y radianes.

¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas que comparten un punto llamado vértice. En trigonometría se piensa como una rotación: un lado inicial gira hasta un lado final.

• Si gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo.
• Si gira en el sentido de las manecillas, es negativo.

Clasificación por su medida

Dos ángulos son complementarios si suman 90° y suplementarios si suman 180°.

Sistemas de medición

Sistema sexagesimal (grados)

Divide la circunferencia en 360 grados (°). Cada grado tiene 60 minutos (′) y cada minuto 60 segundos (″):

$$1° = 60' \qquad 1' = 60'' \qquad 25.5° = 25°\,30'$$

Sistema circular (radianes)

Un radián es el ángulo central que abarca un arco de la misma longitud que el radio. Como la circunferencia mide $2\pi r$, una vuelta completa tiene $2\pi$ radianes:

$$360° = 2\pi \text{ rad} \qquad\Longleftrightarrow\qquad 180° = \pi \text{ rad}$$

Un radián equivale a unos $57.3°$. Los radianes son el sistema que se usa en cálculo y física.

Conversión entre grados y radianes

Se usa la equivalencia $180° = \pi$ rad como factor de conversión:

$$\text{radianes} = \text{grados}\cdot\frac{\pi}{180°} \qquad\qquad \text{grados} = \text{radianes}\cdot\frac{180°}{\pi}$$

Grados a radianes:

$$150° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \text{ rad}$$

Radianes a grados:

$$\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{3\cdot 180°}{4} = 135°$$

Truco: con $\pi$ en el numerador, solo sustituye $\pi$ por $180°$: $\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3(180°)}{4} = 135°$.

Ángulos más usados

Longitud de arco

En radianes, la longitud de un arco es simplemente $s = r\,\theta$. Un arco de $\frac{\pi}{3}$ rad en una circunferencia de radio 6 cm mide $s = 6\cdot\frac{\pi}{3} = 2\pi \approx 6.28$ cm.

Comprueba lo aprendido

1. Convierte 225° a radianesVer respuestaOcultar respuesta

$225\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{4}$ rad.

2. Convierte $\frac{7\pi}{6}$ a gradosVer respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{7(180°)}{6} = 210°$.

3. ¿Cuál es el complemento de 35°?Ver respuestaOcultar respuesta

$90° - 35° = 55°$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de trigonometría

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. Grupo Editorial Patria.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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