Construcción de triángulos, cuadriláteros y polígonos: desigualdad del triángulo y rectas notables

No con cualquier par de datos se puede dibujar un triángulo o un cuadrilátero. Antes de tomar el compás conviene saber qué condiciones deben cumplir las medidas y cuántos datos hacen falta para que la figura quede bien definida.

En tu libro: este tema está en las páginas 47 a 51 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

La desigualdad del triángulo

Con tres segmentos solo se puede formar un triángulo si el lado mayor mide menos que la suma de los otros dos:

$$\text{lado mayor} < \text{suma de los otros dos lados}$$

• Si el lado mayor es menor que la suma: sí hay triángulo.
• Si es igual: los dos lados cortos quedan “acostados” sobre el largo; las circunferencias trazadas con el compás solo se tocan en un punto y no se forma triángulo.
• Si es mayor: los lados cortos no alcanzan; las circunferencias no se cortan.

La página 48 muestra este procedimiento: sobre el lado mayor se trazan circunferencias con centro en sus extremos y radios iguales a los otros dos lados. El punto donde se cortan es el tercer vértice.

Ejemplos

¿Qué datos bastan para construir un triángulo?

Un triángulo queda determinado (es único, salvo su posición) con cualquiera de estos grupos de datos:

1. Tres lados que cumplan la desigualdad del triángulo (LLL).
2. Dos lados y el ángulo que forman (LAL). Por ejemplo, los lados $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ y el ángulo $\angle B$.
3. Un lado y los dos ángulos adyacentes (ALA). Por ejemplo, $\overline{AB}$, $\angle A$ y $\angle B$; los dos ángulos deben sumar menos de $180^\circ$.

Notación: un segmento se escribe con las letras de sus extremos y una barra encima ($\overline{AB}$); un ángulo, con la letra del vértice ($\angle A$) o con tres letras donde la de en medio es el vértice ($\angle BCA$ es el ángulo en $C$).

Rectas notables del triángulo

El libro (página 49) recuerda que en un triángulo obtusángulo las alturas caen fuera de la figura, sobre la prolongación de los lados, y por eso el ortocentro queda afuera.

Construcción de cuadriláteros

Los paralelogramos tienen lados opuestos paralelos y de igual medida, lo que facilita su trazo (páginas 50 y 51):

• Cuadrado: basta con un lado, o con su diagonal, porque las diagonales son iguales y se cortan en ángulo recto por su punto medio.
• Rectángulo: basta con dos lados adyacentes; se levantan perpendiculares en los extremos. También se puede trazar con sus diagonales, que son iguales y se cortan en su punto medio (aunque no en ángulo recto).
• Trapecios: tienen solo un par de lados paralelos. Se obtienen cortando un triángulo con una recta paralela a uno de sus lados:
  • de un triángulo isósceles, paralela al lado desigual → trapecio isósceles;
  • de un triángulo escaleno → trapecio escaleno;
  • de un triángulo rectángulo, paralela a un cateto → trapecio rectángulo.

Construcción a escala

Construir a escala significa dibujar la figura con todas sus medidas multiplicadas por el mismo factor y con los mismos ángulos. Si un terreno triangular mide 30 m, 40 m y 50 m, a escala 1 : 1 000 se dibuja con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. Los ángulos no cambian, así que la figura es semejante a la real.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Se puede construir un triángulo con lados de 6, 9 y 14 cm?Ver respuestaOcultar respuesta

Sí, porque $14 < 6 + 9 = 15$.

2. ¿Y con lados de 4, 5 y 9 cm?Ver respuestaOcultar respuesta

No. $9 = 4 + 5$: las circunferencias solo se tocan y los tres puntos quedan alineados.

3. Te dan un lado de 6 cm y dos ángulos adyacentes de 100° y 90°. ¿Puedes construir el triángulo?Ver respuestaOcultar respuesta

No, porque $100^\circ + 90^\circ = 190^\circ$, y los ángulos de un triángulo suman exactamente $180^\circ$: los otros dos lados nunca se cortarían.

4. ¿En qué punto se cortan las bisectrices de un triángulo y para qué sirve?Ver respuestaOcultar respuesta

En el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita (la que toca los tres lados por dentro).

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de geometría

Temas relacionados: polígonos regulares y teselaciones en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 47-51.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.

Ver libro de texto (SEP)