Áreas sombreadas con círculos y figuras (2.° secundaria)

Muchos problemas de geometría muestran un círculo dentro de un cuadrado, dos círculos en un rectángulo o un rombo inscrito en una circunferencia, y piden el área sombreada o un perímetro. La clave no es una fórmula nueva, sino descubrir qué medidas comparten las figuras.

En tu libro: este tema está en las páginas 57 a 61 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Fórmulas que necesitas

Figura	Perímetro	Área
Círculo de radio $r$	$P = 2\pi r = \pi d$	$A = \pi r^2$
Rectángulo	$P = 2b + 2h$	$A = b \times h$
Cuadrado de lado $l$	$P = 4l$	$A = l^2$
Triángulo	suma de los lados	$A = \dfrac{b \times h}{2}$
Rombo de lado $l$ y diagonales $D$ , $d$	$P = 4l$	$A = \dfrac{D \times d}{2}$

Una intersección es el punto o la región donde se encuentran dos líneas o figuras.

Estrategia para figuras que se intersecan

Identifica las figuras y anota los datos.
Busca medidas compartidas: el radio de un círculo inscrito es la mitad del lado del cuadrado; el diámetro de dos círculos alineados da el largo del rectángulo; un radio puede ser también la diagonal de un rectángulo.
Calcula cada área o longitud por separado.
Suma o resta: el área sombreada casi siempre es “figura grande menos figura chica”.

Ejemplos del libro resueltos

Página 58: el perímetro del rombo

Un rectángulo $FIHG$ está inscrito en una circunferencia de centro $C$ y radio $R$ . Los puntos $K$ , $L$ , $M$ y $N$ son los puntos medios de sus lados y forman un rombo. ¿Cuánto mide su perímetro?

Las rectas que unen los puntos medios dividen el rectángulo grande en cuatro rectángulos iguales con un vértice en el centro $C$ .
En el rectángulo pequeño $FNCK$ , una diagonal es $\overline{CF}$ , que es un radio ( $R$ ), y la otra diagonal es $\overline{NK}$ , que es un lado del rombo.
Las diagonales de un rectángulo miden lo mismo, así que cada lado del rombo mide $R$ .

$P = 4R$

Si el radio fuera de 5 cm, el perímetro del rombo sería $4 \times 5 = 20$ cm, sin importar las medidas del rectángulo.

Páginas 59 a 61: dos círculos dentro de un rectángulo

Dos círculos de radio 2 cm se tocan en un punto y están inscritos en el rectángulo $KNML$ . Una diagonal divide al rectángulo en dos triángulos. Se pide el área sombreada de una de las dos mitades (lo que queda fuera de los círculos).

Área de los círculos: cada uno mide $A = \pi(2)^2 = 4\pi$ cm², y los dos juntos, $8\pi$ cm².

Medidas del rectángulo: el largo equivale a dos diámetros, $4 \times 2 = 8$ cm, y el alto a un diámetro, $2 \times 2 = 4$ cm.

$A_{\text{rectángulo}} = 8 \times 4 = 32 \text{ cm}^2$

Área fuera de los círculos: $32 - 8\pi \approx 32 - 25.12 = 6.88$ cm².

Mitad sombreada: la diagonal parte al rectángulo y a esa región en dos partes iguales:

$A = \frac{32 - 8\pi}{2} = 16 - 4\pi \approx \frac{6.88}{2} = 3.44 \text{ cm}^2$

Nota: en el libro el último renglón aparece como “6.88 = 3.44”; falta indicar la división entre 2.

Otro ejemplo: círculo inscrito en un cuadrado

Un círculo está inscrito en un cuadrado de 10 cm de lado. ¿Cuál es el área de las cuatro esquinas?

El diámetro del círculo es igual al lado: $d = 10$ cm, así que $r = 5$ cm.

$A = 10^2 - \pi(5)^2 = 100 - 25\pi \approx 100 - 78.5 = 21.5 \text{ cm}^2$

Comprueba lo aprendido

1. Un círculo de 3 cm de radio está inscrito en un cuadrado. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

El lado es igual al diámetro: $2 \times 3 = 6$ cm.

2. Calcula el área entre ese círculo y el cuadrado (usa π ≈ 3.14).

$6^2 - 3.14(3)^2 = 36 - 28.26 = 7.74$ cm².

3. Tres círculos de 1 cm de radio están en fila dentro de un rectángulo que los toca a todos. ¿Cuáles son las medidas del rectángulo?

Largo: 3 diámetros $= 6$ cm. Alto: 1 diámetro $= 2$ cm.

4. Un cuadrado está inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado?

La diagonal es un diámetro de la circunferencia: $2 \times 4 = 8$ cm.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de geometría

Temas relacionados: perímetro y área de figuras compuestas y polígonos regulares en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 57-61.
Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.

Ver libro de texto (SEP)

Más de Saberes y pensamiento científico 2

Saberes y pensamiento científico 2 · Geometría

Construcción de polígonos regulares: ángulo central, ángulo interior y pasos con compás

Cómo construir un polígono regular inscrito en una circunferencia, cómo calcular su ángulo central e interior y la tabla de polígonos del libro de la SEP.

4 ejercicios con respuesta

Saberes y pensamiento científico 2 · Geometría

Construcción de triángulos, cuadriláteros y polígonos: desigualdad del triángulo y rectas notables

Cuándo se puede construir un triángulo (desigualdad del triángulo), qué datos bastan, rectas notables y cómo trazar cuadrados, rectángulos y trapecios.

4 ejercicios con respuesta

Saberes y pensamiento científico 2 · Geometría

Ejercicios resueltos de geometría para 2.° de secundaria: polígonos, triángulos, teselados y áreas

15 ejercicios resueltos de 2.° de secundaria: ángulos de polígonos regulares, desigualdad del triángulo, teselaciones, áreas sombreadas y figuras compuestas.

15 ejercicios con respuesta