Representación algebraica de áreas: la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0

Si un terreno cuadrado tiene un área de 144 m², ¿cuánto mide cada lado? Si mides el lado con una letra $x$, el área se escribe $x^2$, y para encontrar $x$ hay que resolver una ecuación cuadrática. En este tema verás cómo las expresiones de la forma $ax^2 + bx + c$ representan áreas.

En tu libro: este tema está en las páginas 17 a 21 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

La ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella en la que el exponente mayor de la incógnita es 2. Su forma general es:

$$ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \neq 0$$

Los coeficientes $a$, $b$ y $c$ pueden ser positivos, negativos o cero, con una excepción: si $a = 0$, el término cuadrático desaparece y la ecuación se vuelve lineal ($bx + c = 0$).

Completas e incompletas

• Completa: tiene los tres términos. Ejemplo: $x^2 + 2x + 1 = 0$.
• Incompleta sin término independiente ($c = 0$): $ax^2 + bx = 0$. Ejemplo: $x^2 + 5x = 0$.
• Incompleta sin término lineal ($b = 0$): $ax^2 + c = 0$. Ejemplo: $x^2 - 16 = 0$.

¿Cómo saber si una ecuación es cuadrática? Primero se simplifican los términos semejantes y se ordenan de mayor a menor exponente. Si el exponente mayor que queda es 2, es cuadrática. Por ejemplo, $x^2 + 3x = x^2 + 7$ no es cuadrática: al restar $x^2$ en ambos lados queda $3x = 7$, que es lineal.

Áreas que se escriben con expresiones cuadráticas

El área de un cuadrado o un rectángulo es base por altura. Cuando un lado se representa con $x$, el producto queda de segundo grado (páginas 19 a 21):

Observa el segundo renglón: al duplicar el lado, el área se cuadruplica: el cuadrado chico cabe 4 veces en el grande.

Página 21: armar un cuadrado con piezas

El libro arma un cuadrado de lado $x + 1$ con cuatro piezas: un cuadrado de lado $x$ (área $x^2$), dos rectángulos de $x$ por 1 (área $x$ cada uno) y un cuadradito de 1 por 1 (área 1). Al sumar las áreas de las piezas:

$$A = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1$$

Y es lo mismo que multiplicar los lados: $(x + 1)(x + 1) = x^2 + 2x + 1$. Esta es la idea del binomio al cuadrado.

De la expresión a la ecuación

Si conoces el área, puedes plantear una ecuación para encontrar el lado:

Ejemplo 1. Un terreno cuadrado mide 144 m². ¿Cuánto mide su lado?

$$x^2 = 144 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 144 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 12 \text{ m}$$

(La otra solución, $x = -12$, no tiene sentido para una longitud).

Ejemplo 2. Un rectángulo mide 3 m más de largo que de ancho y su área es 40 m². Si el ancho es $x$:

$$x(x + 3) = 40 \quad\Rightarrow\quad x^2 + 3x - 40 = 0$$

Al probar valores, $x = 5$ funciona: $25 + 15 - 40 = 0$. El rectángulo mide 5 m por 8 m. (En tercer grado aprenderás la fórmula general para resolver cualquier ecuación así).

Comprueba lo aprendido

1. En $2x^2 - 7x + 3 = 0$, ¿cuánto valen $a$, $b$ y $c$?Ver respuestaOcultar respuesta

$a = 2$, $b = -7$ y $c = 3$.

2. ¿Es cuadrática la ecuación $5x - 3 = 0$?Ver respuestaOcultar respuesta

No. El exponente mayor de $x$ es 1: es una ecuación lineal.

3. Escribe el área de un rectángulo cuyo largo mide 4 unidades más que su ancho $x$.Ver respuestaOcultar respuesta

$A = x(x + 4) = x^2 + 4x$.

4. Un cuadrado tiene lado $x + 2$. ¿Cuál es su área como expresión cuadrática?Ver respuestaOcultar respuesta

$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra

Temas relacionados: leyes de los exponentes, perímetro y área de figuras compuestas y, para el siguiente grado, ecuaciones cuadráticas con fórmula general.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 17-21.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)