Tendencias en los datos: variación, rango y desviación estándar

La edad de cinco alumnos de un grupo de secundaria casi no varía; la de cinco pasajeros de un autobús puede ir de 15 a 70 años. Medir esa variación permite saber si la media realmente representa a los datos y detectar tendencias.

En tu libro: este tema está en las páginas 92 a 97 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Variación de los datos

La variación son las diferencias entre los datos. Puede no haber variación, poca o mucha, y se mide con el rango y la desviación estándar.

Varianza y desviación estándar

La varianza ($S^2$) promedia los cuadrados de las distancias de cada dato a la media. Para una muestra se divide entre $n - 1$:

$$S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}$$

La desviación estándar ($S$) es su raíz cuadrada, y queda en las mismas unidades que los datos:

$$S = \sqrt{S^2}$$

Pasos: 1) calcula la media; 2) resta la media a cada dato; 3) eleva al cuadrado cada diferencia; 4) súmalas; 5) divide entre $n - 1$; 6) saca raíz cuadrada.

Ejemplo del libro resuelto (páginas 93 a 95)

Tres grupos de cinco personas:

Grupo B paso a paso: las diferencias con la media 12.8 son $-0.8$, $0.2$, $-0.8$, $1.2$ y $0.2$. Sus cuadrados: 0.64, 0.04, 0.64, 1.44 y 0.04, que suman 2.8.

$$S^2 = \frac{2.8}{5 - 1} = 0.7 \qquad\qquad S = \sqrt{0.7} \approx 0.84 \text{ años}$$

Grupo C: los cuadrados de las diferencias suman 2 335.2; $S^2 = 2\,335.2 \div 4 = 583.8$ y $S \approx 24.16$ años.

Cuanto mayor es la desviación estándar, más dispersos están los datos. Si vale 0, todos son iguales.

¿Media o mediana?

• Con poca variación, la media y la mediana se parecen y ambas describen bien los datos.
• Con mucha variación o con valores extremos, la mediana representa mejor a la mayoría.

Páginas 95 a 97: la inflación por quinquenio

El libro compara las tasas de inflación promedio de cinco quinquenios (1996-2020):

En México, la inflación muy alta de 1996-2000 (24.5 %) hace que la media (8.33) quede lejos de los demás quinquenios; la mediana (4.44) describe mejor lo típico. En la Unión Europea y Estados Unidos los datos varían poco, y media y mediana son casi iguales.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula la varianza y la desviación estándar de 4, 6, 8 (como muestra).Ver respuestaOcultar respuesta

Media 6. Diferencias: $-2$, 0, 2; cuadrados: 4, 0, 4; suma 8. $S^2 = 8 \div 2 = 4$ y $S = 2$.

2. Dos grupos tienen la misma media de calificaciones, 8. El grupo A tiene S = 0.5 y el B, S = 2. ¿Cuál es más parejo?Ver respuestaOcultar respuesta

El A, porque su desviación estándar es menor: sus calificaciones están más cerca de 8.

3. ¿Puede ser negativa la desviación estándar?Ver respuestaOcultar respuesta

No. Se obtiene de una suma de cuadrados (que nunca son negativos) y de una raíz cuadrada positiva. Su valor mínimo es 0.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de estadística y probabilidad

Temas relacionados: media, mediana, moda y desviación media y probabilidad en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 92-97.
• Triola, M. F. (2018). Estadística. Pearson.

Ver libro de texto (SEP)