Sucesiones cuadráticas: método de diferencias y regla an² + bn + c

En la sucesión 5, 9, 15, 23… los saltos no son iguales (4, 6, 8…), así que no es una sucesión lineal. Pero los saltos crecen de 2 en 2. Cuando eso pasa, la sucesión es cuadrática y su regla tiene la forma $an^2 + bn + c$.

En tu libro: este tema está en las páginas 106 a 111 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Sucesiones y su regla

Una sucesión es una lista ordenada de números o figuras llamados términos. La regla o término enésimo es una expresión algebraica que da el término que está en la posición $n$.

• Si los términos cambian siempre lo mismo (primeras diferencias constantes), la sucesión es lineal: su regla es $bn + c$. Ejemplo: 3, 5, 7, 9… tiene regla $2n + 1$.
• Si lo que se mantiene constante son las segundas diferencias, la sucesión es cuadrática: su regla es $an^2 + bn + c$.

El método de las diferencias

1. Escribe los términos y calcula las primeras diferencias (cada término menos el anterior).
2. Calcula las segundas diferencias (diferencias de las diferencias). Si son constantes, la sucesión es cuadrática.
3. Usa estas tres relaciones:

$$2a = \text{segunda diferencia}$$

$$3a + b = \text{primera diferencia (entre el 1.° y el 2.° término)}$$

$$a + b + c = \text{primer término}$$

4. Resuelve en orden: primero $a$, luego $b$ y al final $c$.

¿De dónde salen estas relaciones? Al sustituir $n = 1, 2, 3$ en $an^2 + bn + c$ se obtienen $a + b + c$, $4a + 2b + c$ y $9a + 3b + c$. La primera diferencia es $3a + b$, la siguiente $5a + b$, y la segunda diferencia, $2a$.

Ejemplos del libro resueltos

Páginas 107 a 109: sucesión de figuras

Las figuras tienen 5, 9, 15 y 23 elementos.

• $2a = 2 \Rightarrow a = 1$
• $3a + b = 4 \Rightarrow 3 + b = 4 \Rightarrow b = 1$
• $a + b + c = 5 \Rightarrow 2 + c = 5 \Rightarrow c = 3$

Regla: $n^2 + n + 3$. Comprobación con $n = 4$: $16 + 4 + 3 = 23$ ✓. Con la regla puedes saber, sin dibujar, que la figura 10 tendrá $100 + 10 + 3 = 113$ elementos.

Páginas 110 y 111: sucesión de números

Encontrar la regla de 4, 8, 18, 34, 56…

• $2a = 6 \Rightarrow a = 3$
• $3a + b = 4 \Rightarrow 9 + b = 4 \Rightarrow b = -5$
• $a + b + c = 4 \Rightarrow -2 + c = 4 \Rightarrow c = 6$

Regla: $3n^2 - 5n + 6$. Comprobación con $n = 5$: $75 - 25 + 6 = 56$ ✓.

Otro ejemplo: los números cuadrados y los rectangulares

• 1, 4, 9, 16, 25… tiene segundas diferencias de 2: $a = 1$, $b = 0$, $c = 0$. Regla: $n^2$.
• 2, 6, 12, 20, 30… (puntos acomodados en rectángulos de $n$ por $n + 1$) tiene $a = 1$, $b = 1$, $c = 0$. Regla: $n^2 + n = n(n + 1)$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Es cuadrática la sucesión 2, 5, 10, 17, 26…?Ver respuestaOcultar respuesta

Sí. Primeras diferencias: 3, 5, 7, 9. Segundas diferencias: 2, 2, 2 (constantes).

2. Encuentra la regla de 2, 5, 10, 17, 26…Ver respuestaOcultar respuesta

$2a = 2 \Rightarrow a = 1$; $3(1) + b = 3 \Rightarrow b = 0$; $1 + 0 + c = 2 \Rightarrow c = 1$. Regla: $n^2 + 1$.

3. Con la regla $2n^2 - n + 3$, ¿cuál es el término 6?Ver respuestaOcultar respuesta

$2(36) - 6 + 3 = 72 - 6 + 3 = 69$.

4. La sucesión 7, 10, 13, 16… ¿es cuadrática?Ver respuestaOcultar respuesta

No, es lineal: sus primeras diferencias ya son constantes (3). Su regla es $3n + 4$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra

Temas relacionados: representación algebraica de áreas y sistemas de ecuaciones en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 106-111.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)