Desigualdades algebraicas (inecuaciones): propiedades, recta numérica y problemas

“La velocidad máxima es 80 km/h”, “necesitas al menos 6 para aprobar”, “el elevador soporta hasta 600 kg”. En estas situaciones no hay una sola respuesta, sino un rango de valores. Para describirlas se usan las desigualdades algebraicas, también llamadas inecuaciones.

En tu libro: este tema está en las páginas 27 a 32 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Símbolos de desigualdad

Una desigualdad algebraica tiene al menos una incógnita, por ejemplo $3x - 2 \geq 5$. Su conjunto solución es el grupo de todos los valores que, al sustituirse, hacen verdadera la desigualdad.

La solución en la recta numérica

• Con $<$ o $>$ el extremo no se incluye: se dibuja un círculo vacío.
• Con $\leq$ o $\geq$ el extremo sí se incluye: se dibuja un círculo relleno.
• La flecha apunta hacia los valores que cumplen la desigualdad.

Ejemplo del libro (página 28): $5 + x < 7$ tiene como solución $x < 2$: círculo vacío en 2 y flecha a la izquierda. Si fuera $5 + x \leq 7$, la solución sería $x \leq 2$ y el círculo en 2 iría relleno.

Cómo se resuelve

Se despeja la incógnita igual que en una ecuación, con una regla extra:

1. Sumar o restar el mismo número en ambos lados no cambia la desigualdad.
2. Multiplicar o dividir ambos lados entre un número positivo no cambia la desigualdad.
3. Multiplicar o dividir entre un número negativo invierte el signo: $<$ se vuelve $>$ y viceversa.

¿Por qué se invierte? Porque $2 < 5$ es cierto, pero al multiplicar por $-1$ queda $-2$ y $-5$, y $-2 > -5$.

Ejemplos del libro resueltos

Página 30, ejemplo 1: la calificación

Para sacar 10, un estudiante necesita al menos 95 puntos sumando cinco exámenes. Ya tiene 19.3, 17.3, 20 y 18.6. ¿Cuánto necesita en el último?

$$19.3 + 17.3 + 20 + 18.6 + x \geq 95$$

$$75.2 + x \geq 95 \quad\Rightarrow\quad x \geq 95 - 75.2 \quad\Rightarrow\quad x \geq 19.8$$

Respuesta: necesita 19.8 puntos o más.

Páginas 30 y 31, ejemplo 2: el bote

Un bote resiste como máximo 300 kg. El conductor pesa 79 kg y cada caja 13 kg. ¿Cuántas cajas puede llevar?

$$13n + 79 \leq 300 \quad\Rightarrow\quad 13n \leq 221 \quad\Rightarrow\quad n \leq 17$$

Respuesta: 17 cajas o menos.

Páginas 31 y 32, ejemplo 3: el triángulo

Un triángulo tiene base de 8 m y altura $-2x + 3$, y su área debe ser menor que 36 m².

$$\frac{8(-2x + 3)}{2} < 36 \quad\Rightarrow\quad -8x + 12 < 36 \quad\Rightarrow\quad -8x < 24$$

Al dividir entre $-8$ se invierte el signo:

$$x > -3$$

Además, la altura debe ser positiva: $-2x + 3 > 0$, es decir, $x < 1.5$. Por eso los valores con sentido geométrico son $-3 < x < 1.5$, como señala el libro.

Otro ejemplo

Un plan de celular cuesta $150 al mes más $2 por cada GB extra. Si quieres gastar como máximo $200, ¿cuántos GB extra puedes usar?

$$150 + 2g \leq 200 \quad\Rightarrow\quad 2g \leq 50 \quad\Rightarrow\quad g \leq 25$$

Puedes usar hasta 25 GB extra.

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $3x - 2 \geq 7$.Ver respuestaOcultar respuesta

$3x \geq 9$, así que $x \geq 3$.

2. Resuelve $-4x > 20$.Ver respuestaOcultar respuesta

Al dividir entre $-4$ se invierte el signo: $x < -5$.

3. ¿Cómo se grafica $x \geq -1$ en la recta numérica?Ver respuestaOcultar respuesta

Con un círculo relleno en $-1$ y una flecha hacia la derecha.

4. Un elevador soporta hasta 600 kg. Si sube una carga de 120 kg, ¿cuántas personas de 80 kg pueden subir?Ver respuestaOcultar respuesta

$80p + 120 \leq 600 \Rightarrow 80p \leq 480 \Rightarrow p \leq 6$. Pueden subir 6 personas o menos.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra

Temas relacionados: sistemas de ecuaciones lineales y leyes de los exponentes en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 27-32.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)