Proporcionalidad inversa: constante, regla de tres inversa, tabla y gráfica

Si más personas pintan una barda, terminan en menos tiempo. Si usas botellas más grandes, necesitas menos botellas. Cuando una cantidad aumenta y la otra disminuye en la misma proporción, hay una proporcionalidad inversa.

En tu libro: este tema está en las páginas 41 a 46 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Qué es la proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si su producto es siempre el mismo:

$$x \cdot y = k \qquad\Longleftrightarrow\qquad y = \frac{k}{x}$$

El número $k$ es la constante de proporcionalidad inversa. Si una magnitud se multiplica por 2, la otra se divide entre 2; si una se triplica, la otra queda en un tercio.

Cuidado: no basta con que “una suba y la otra baje”. En la proporcionalidad inversa el producto debe ser constante. Por ejemplo, la edad de un carro y su precio: uno sube y el otro baja, pero no de forma inversamente proporcional.

Página 42: las botellas

Para envasar 48 litros de agua:

El producto siempre es 48: la constante es $k = 48$ (los litros totales).

Cómo calcular un valor faltante

Opción 1: con la constante. Se multiplica el par de valores conocido para obtener $k$ y se divide entre el dato nuevo.

Opción 2: regla de tres inversa. Si $a$ corresponde a $b$ y $c$ corresponde a $x$:

$$x = \frac{a \cdot b}{c}$$

Fíjate en la diferencia con la regla de tres directa, donde se multiplica “en cruz” ($x = \frac{b \cdot c}{a}$). En la inversa se multiplican los dos valores del mismo renglón.

Ejemplos del libro resueltos

Página 43, ejemplo 1: las cubetas de pintura

Cierta cantidad de pintura llena 6 cubetas de 20 L. ¿Cuántas cubetas de 4 L se necesitan?

$$x = \frac{6 \times 20}{4} = \frac{120}{4} = 30 \text{ cubetas}$$

La constante $k = 120$ es la cantidad total de pintura.

Página 43, ejemplo 2: el alimento de las gallinas

El alimento para 24 gallinas dura 10 días. ¿Cuánto durará para 30 gallinas?

$$k = 24 \times 10 = 240 \qquad\qquad \frac{240}{30} = 8 \text{ días}$$

Páginas 44 a 46: masa y aceleración

Al aplicar la misma fuerza a objetos de distinta masa:

El producto siempre es 72: $4 \times 18 = 72$, $3 \times 24 = 72$. En física, esa constante es la fuerza (72 N), porque $F = m \cdot a$. La fórmula es:

$$m \cdot a = 72 \qquad\Rightarrow\qquad a = \frac{72}{m}$$

Para una masa de 12 kg: $a = \dfrac{72}{12} = 6$ m/s².

La gráfica: una hipérbola

Al graficar $y = \dfrac{k}{x}$ se obtiene una curva llamada hipérbola. Con $k > 0$ tiene dos ramas: una en el primer cuadrante y otra en el tercero; con $k < 0$, en el segundo y el cuarto. En situaciones reales (masas, tiempos, cantidades) solo se usa la rama del primer cuadrante: la curva baja conforme $x$ aumenta, pero nunca toca los ejes.

• a = 72 / m

Comprueba lo aprendido

1. 4 trabajadores construyen una barda en 15 días. ¿Cuánto tardarían 6 trabajadores?Ver respuestaOcultar respuesta

$k = 4 \times 15 = 60$; $60 \div 6 = 10$ días.

2. Un auto a 80 km/h tarda 3 h en un viaje. ¿Cuánto tardaría a 120 km/h?Ver respuestaOcultar respuesta

$k = 80 \times 3 = 240$ km; $240 \div 120 = 2$ h.

3. ¿Es inversamente proporcional esta tabla? x: 2, 4, 5; y: 10, 5, 3.Ver respuestaOcultar respuesta

No. $2 \times 10 = 20$ y $4 \times 5 = 20$, pero $5 \times 3 = 15$. El producto no es constante.

4. Si $y = \dfrac{36}{x}$, ¿cuánto vale $y$ cuando $x = 9$?Ver respuestaOcultar respuesta

$y = 36 \div 9 = 4$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra

Temas relacionados: leyes de Newton y sistemas de ecuaciones en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 41-46.
• Baldor, A. (2007). Aritmética. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)