Sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2: métodos de reducción, igualación y sustitución

Dos pantalones y tres camisas cuestan $2 300; tres pantalones y dos camisas, $2 450. ¿Cuánto cuesta cada prenda? Con una sola ecuación no basta, porque hay dos incógnitas. Se necesita un sistema de dos ecuaciones lineales.

En tu libro: este tema está en las páginas 33 a 40 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Qué es un sistema 2 × 2

Es un par de ecuaciones de la forma:

$$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$

donde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ y $f$ son números conocidos (constantes) y $x$ y $y$ son las incógnitas. Resolverlo es encontrar el par $(x, y)$ que cumple las dos ecuaciones al mismo tiempo. Gráficamente, es el punto donde se cruzan las dos rectas.

Hay tres métodos algebraicos. Todos convierten el sistema en una ecuación con una sola incógnita, y todos dan el mismo resultado.

Método de reducción (suma y resta)

Se multiplican las ecuaciones por números convenientes para que, al sumarlas, una incógnita se elimine.

Páginas 34 a 36: los pantalones y las camisas

Sea $x$ el precio de un pantalón y $y$ el de una camisa:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 2\,300 & (1)\\ 3x + 2y = 2\,450 & (2) \end{cases}$$

Eliminar $x$: se multiplica (1) por $-3$ y (2) por $2$, para tener $-6x$ y $+6x$:

$$\begin{array}{r} -6x - 9y = -6\,900 \\ 6x + 4y = 4\,900 \\ \hline -5y = -2\,000 \end{array}$$

$$y = \frac{-2\,000}{-5} = 400$$

Eliminar $y$: se multiplica (1) por $-2$ y (2) por $3$:

$$\begin{array}{r} -4x - 6y = -4\,600 \\ 9x + 6y = 7\,350 \\ \hline 5x = 2\,750 \end{array}$$

$$x = 550$$

Comprobación: $2(550) + 3(400) = 1\,100 + 1\,200 = 2\,300$ ✓ y $3(550) + 2(400) = 1\,650 + 800 = 2\,450$ ✓.

Respuesta: cada pantalón cuesta $550 y cada camisa $400. (También se puede hallar $x$ sustituyendo $y = 400$ en cualquier ecuación).

Método de igualación

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones.

Páginas 37 y 38: las máquinas de sublimación

María pagó $3 500 por una máquina grande ($x$) y una chica ($y$). Al cambiar la chica por dos grandes, pagó la diferencia de $4 000:

$$\begin{cases} x + y = 3\,500 \\ 2x - y = 4\,000 \end{cases}$$

Se despeja $x$ en ambas:

$$x = 3\,500 - y \qquad\qquad x = \frac{4\,000 + y}{2}$$

Se igualan:

$$3\,500 - y = \frac{4\,000 + y}{2}$$

Se multiplica todo por 2: $7\,000 - 2y = 4\,000 + y$, de donde $-3y = -3\,000$ y $y = 1\,000$.

Se sustituye en la primera ecuación: $x = 3\,500 - 1\,000 = 2\,500$.

Respuesta: la máquina grande cuesta $2 500 y la chica $1 000.

Nota: al final de esta sección el libro dice “método de sustitución”, pero se refiere al de igualación.

Método de sustitución

Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra.

Páginas 39 y 40

$$\begin{cases} x + y = 5 & (1)\\ 2x + 3y = 12 & (2) \end{cases}$$

De (1): $x = 5 - y$. Se sustituye en (2):

$$2(5 - y) + 3y = 12 \quad\Rightarrow\quad 10 - 2y + 3y = 12 \quad\Rightarrow\quad y = 2$$

Y entonces $x = 5 - 2 = 3$. Solución: $(3, 2)$.

¿Cuál método conviene?

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve por reducción: $x + y = 10$ y $x - y = 4$.Ver respuestaOcultar respuesta

Al sumar: $2x = 14$, $x = 7$. Entonces $y = 10 - 7 = 3$. Solución: $(7, 3)$.

2. Resuelve por sustitución: $y = 2x$ y $x + y = 9$.Ver respuestaOcultar respuesta

$x + 2x = 9 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$, y $y = 6$.

3. En una granja hay gallinas y conejos: 20 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos hay de cada uno?Ver respuestaOcultar respuesta

$g + c = 20$ y $2g + 4c = 56$. De la primera, $g = 20 - c$; sustituyendo: $40 - 2c + 4c = 56 \Rightarrow c = 8$, $g = 12$. Hay 12 gallinas y 8 conejos.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra

Temas relacionados: desigualdades algebraicas y proporcionalidad inversa en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 33-40.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)