Leyes de los exponentes: propiedades y operaciones algebraicas resueltas

Multiplicar $x^5$ por $x^3$ o simplificar $\dfrac{y^{15}}{y^2}$ es muy rápido si conoces las leyes de los exponentes: unas cuantas reglas que convierten multiplicaciones y divisiones de potencias en sumas y restas de exponentes.

En tu libro: este tema está en las páginas 22 a 26 de Saberes y pensamiento científico. Segundo grado (SEP).

Qué es una potencia

Una potencia abrevia una multiplicación repetida:

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}}$$

• $a$ es la base (el número que se multiplica).
• $n$ es el exponente (cuántas veces se multiplica).
• El resultado es la potencia.

Ejemplos: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ y $3^4 = 81$.

Las leyes de los exponentes

¿Por qué $a^0 = 1$? Porque $\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$, y cualquier número (distinto de cero) dividido entre sí mismo es 1.

Cuidado: las leyes del producto y del cociente solo sirven con la misma base. $x^2 \cdot y^3$ no se puede juntar en una sola potencia. Y no hay ley para la suma: $x^2 + x^3$ no es $x^5$.

Ejemplos del libro resueltos

Página 24, ejemplo 1: propiedad distributiva

Desarrollar $x^2(x + x^3)$. Se multiplica $x^2$ por cada término y se suman los exponentes:

$$x^2 \cdot x + x^2 \cdot x^3 = x^{2+1} + x^{2+3} = x^3 + x^5$$

Páginas 24 y 25, ejemplo 2: simplificación

Simplificar $\dfrac{y^{10}\,y^5}{y^2}$. Primero el producto del numerador y después el cociente:

$$\frac{y^{10}\,y^5}{y^2} = \frac{y^{15}}{y^2} = y^{15-2} = y^{13}$$

Página 25, ejemplo 3: potencia de un producto

Desarrollar $x^5(x^2y^4)^3$. Primero se eleva cada factor del paréntesis y luego se juntan las potencias de base $x$:

$$x^5(x^{2 \cdot 3}\,y^{4 \cdot 3}) = x^5\,x^6\,y^{12} = x^{11}y^{12}$$

Página 26, ejemplo 4: las bacterias

Una bacteria se duplica cada segundo: después de $t$ segundos hay $2^t$ bacterias ($2^0 = 1$, $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$…). Si otro factor triplica la población cada segundo ($3^t$), el efecto combinado es:

$$2^t \cdot 3^t = (2 \cdot 3)^t = 6^t$$

Por ejemplo, a los 3 segundos: $6^3 = 216$.

Más ejemplos

• $(3a^2b)^2 = 3^2 a^4 b^2 = 9a^4b^2$
• $\dfrac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$ (los coeficientes se dividen normalmente)
• $(2m^3)(5m^4) = 10m^7$ (los coeficientes se multiplican y los exponentes se suman)
• $\dfrac{a^2}{a^6} = a^{-4} = \dfrac{1}{a^4}$

Comprueba lo aprendido

1. Simplifica $a^4 \cdot a^7 \cdot a$.Ver respuestaOcultar respuesta

$a^{4+7+1} = a^{12}$ (recuerda que $a = a^1$).

2. Simplifica $\dfrac{m^9}{m^4}$.Ver respuestaOcultar respuesta

$m^{9-4} = m^5$.

3. Desarrolla $(2x^3y)^4$.Ver respuestaOcultar respuesta

$2^4 x^{12} y^4 = 16x^{12}y^4$.

4. ¿Cuánto vale $10^{-3}$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0.001$.

5. ¿Es cierto que $2^3 + 2^3 = 2^6$?Ver respuestaOcultar respuesta

No. $2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4$, mientras que $2^6 = 64$. Las leyes de los exponentes no se aplican a sumas.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra

Temas relacionados: representación algebraica de áreas y notación científica en el curso de Saberes y pensamiento científico 2.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Saberes y pensamiento científico. Segundo grado. SEP, pp. 22-26.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)