Ejercicios resueltos de álgebra para 2.° de secundaria: exponentes, desigualdades, sistemas y sucesiones

Ejercicios de la unidad 2 del curso de Saberes y pensamiento científico 2: álgebra y variación. Corresponden a los temas de las páginas 17 a 46 y 106 a 111 del libro de la SEP. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Representación algebraica de áreas

1.- Un rectángulo mide $x$ de ancho y $2x + 1$ de largo. Escribe su área y calcúlala para $x = 3$.

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$A = x(2x + 1) = 2x^2 + x$. Con $x = 3$: $18 + 3 = 21$ unidades cuadradas.

2.- ¿Cuál de estas ecuaciones es cuadrática? a) $4x + 1 = 0$; b) $x^2 - 9 = 0$; c) $x^2 + 2x = x^2 - 4$.

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Solo la b. La c parece cuadrática, pero al restar $x^2$ en ambos lados queda $2x = -4$, que es lineal.

3.- Un terreno cuadrado tiene 225 m² de área. ¿Cuánto mide su lado?

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$x^2 = 225 \Rightarrow x = 15$ m (la solución negativa no tiene sentido para una longitud).

Leyes de los exponentes

4.- Simplifica $x^3 \cdot x^5 \cdot x^2$.

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$x^{3+5+2} = x^{10}$.

5.- Simplifica $\dfrac{15a^8b^3}{5a^2b}$.

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$3a^{8-2}b^{3-1} = 3a^6b^2$.

6.- Desarrolla $(3x^2y^3)^3$.

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$3^3x^{6}y^{9} = 27x^6y^9$.

7.- ¿Cuánto vale $\dfrac{2^7 \cdot 2^3}{2^8}$?

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$2^{7+3-8} = 2^2 = 4$.

Desigualdades

8.- Resuelve $5x + 3 < 28$.

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$5x < 25 \Rightarrow x < 5$.

9.- Resuelve $7 - 2x \geq 15$ y di cómo se grafica.

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$-2x \geq 8$. Al dividir entre $-2$ se invierte el signo: $x \leq -4$. Círculo relleno en $-4$ y flecha hacia la izquierda.

10.- Una camioneta carga como máximo 1 000 kg. El chofer pesa 70 kg y cada bulto de cemento 50 kg. ¿Cuántos bultos puede llevar?

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$50b + 70 \leq 1\,000 \Rightarrow 50b \leq 930 \Rightarrow b \leq 18.6$. Como los bultos son enteros, puede llevar 18 bultos como máximo.

Sistemas de ecuaciones

11.- Resuelve por reducción: $3x + 2y = 16$ y $x - 2y = 0$.

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Al sumar: $4x = 16 \Rightarrow x = 4$. Sustituyendo: $4 - 2y = 0 \Rightarrow y = 2$. Solución: $(4, 2)$.

12.- En un cine, 3 boletos de adulto y 2 de niño cuestan $340, y 1 de adulto y 4 de niño cuestan $280. ¿Cuánto cuesta cada boleto?

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$3a + 2n = 340$ y $a + 4n = 280$. De la segunda, $a = 280 - 4n$. Sustituyendo: $3(280 - 4n) + 2n = 340 \Rightarrow 840 - 10n = 340 \Rightarrow n = 50$, y $a = 280 - 200 = 80$. Adulto $80, niño $50.

Proporcionalidad inversa

13.- 8 llaves llenan un tanque en 6 horas. ¿Cuánto tardarían 12 llaves iguales?

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$k = 8 \times 6 = 48$; $48 \div 12 = 4$ horas.

14.- Si $x$ y $y$ son inversamente proporcionales y $y = 9$ cuando $x = 4$, ¿cuánto vale $y$ cuando $x = 6$?

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$k = 4 \times 9 = 36$; $y = 36 \div 6 = 6$.

Sucesiones cuadráticas

15.- Encuentra la regla de la sucesión 3, 9, 19, 33, 51…

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Primeras diferencias: 6, 10, 14, 18. Segundas: 4. Entonces $2a = 4 \Rightarrow a = 2$; $3(2) + b = 6 \Rightarrow b = 0$; $2 + 0 + c = 3 \Rightarrow c = 1$. Regla: $2n^2 + 1$.

16.- Con la regla $n^2 + 3n$, ¿qué lugar ocupa el término 70?

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Se prueba: $n = 7 \Rightarrow 49 + 21 = 70$. Ocupa el lugar 7.

Repasa la teoría en las clases de la unidad: áreas y ecuación cuadrática, leyes de los exponentes, desigualdades, sistemas de ecuaciones, proporcionalidad inversa y sucesiones cuadráticas.

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