Área y volumen de sólidos geométricos: prismas, cilindros y principio de Cavalieri

Un bote de basura y una pirámide se ven muy distintos, pero ambos son sólidos geométricos: cuerpos que ocupan un lugar en el espacio y están limitados por caras, que pueden ser planas o curvas. De cualquier sólido nos interesan sobre todo dos medidas: su área (cuánto mide su superficie) y su volumen (cuánto espacio ocupa).

En tu libro: este tema está en las páginas 14 a 19 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP, Colección Nanahuatzin). Abajo resolvemos paso a paso todos sus ejemplos.

Poliedros y sus partes

Un poliedro es un sólido cuyas caras son todas polígonos (triángulos, rectángulos, pentágonos…). Sus partes son:

• Caras: los polígonos que lo limitan.
• Aristas: los segmentos donde se juntan dos caras.
• Vértices: los puntos donde se juntan tres o más aristas.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas, llamadas bases, unidas por caras laterales que son paralelogramos (en los prismas rectos, rectángulos). La altura es la distancia perpendicular entre las bases. El prisma toma el nombre del polígono de su base: triangular, rectangular, pentagonal, hexagonal…

El área de un sólido

El área superficial es la suma de las áreas de todas sus caras. Es lo que necesitas saber para fabricar una caja, forrar un objeto o hacer una etiqueta.

$$A_{\text{total}} = \text{suma de las áreas de todas las caras}$$

El cilindro

El cilindro no es un poliedro porque tiene una cara curva, pero su área es fácil de calcular: si «desenrollas» esa cara curva obtienes un rectángulo cuyo largo es el perímetro del círculo de la base ($2\pi r$) y cuyo ancho es la altura $h$.

$$A_L = 2\pi r h \qquad A_{\text{bases}} = 2\pi r^2 \qquad A_T = 2\pi r h + 2\pi r^2$$

Donde $r$ es el radio de la base y $h$ la altura.

El volumen de un sólido

El volumen es la cantidad de unidades cúbicas que caben dentro del sólido. Las unidades más usadas son el centímetro cúbico (cm³), que es un cubo de 1 cm de arista, y el metro cúbico (m³).

Una forma práctica de medir el volumen de un objeto irregular es sumergirlo en agua: el nivel del agua sube exactamente lo que mide el volumen del objeto, porque el objeto desplaza el agua que antes ocupaba ese lugar. Es la idea del principio de Arquímedes.

• Cubo de arista $a$: $V = a \times a \times a = a^3$.
• Sólido compuesto: su volumen es la suma de los volúmenes de las partes que lo forman.

El principio de Cavalieri

Imagina una pila de hojas de papel. Si la empujas para que quede inclinada, su forma cambia, pero su volumen no, porque sigue formada por las mismas hojas.

Principio de Cavalieri: si dos sólidos tienen la misma altura y, al cortarlos con cualquier plano paralelo a la base, las dos secciones tienen la misma área, entonces los dos sólidos tienen el mismo volumen.

Por eso un prisma o un cilindro inclinado tiene el mismo volumen que uno recto con la misma base y la misma altura.

Ejemplos del libro resueltos

Página 16: el papel para envolver una caja

Problema: ¿cuánto papel se necesita para envolver una caja con forma de prisma rectangular de 2 cm × 7 cm × 5 cm?

La cantidad de papel es el área total de la caja. Tiene seis caras rectangulares que forman tres pares iguales:

$$A_T = 2(10) + 2(14) + 2(35) = 20 + 28 + 70 = 118 \text{ cm}^2$$

Respuesta: se necesitan 118 cm² de papel.

Página 17: la etiqueta de una lata

Problema: una lata cilíndrica mide 3 cm de radio y 7 cm de altura. ¿Qué tamaño debe tener una etiqueta que cubra todo su costado?

La etiqueta cubre solo la cara curva, así que se calcula el área lateral:

$$A_L = 2\pi r h = 2\pi(3\text{ cm})(7\text{ cm}) = 42\pi \text{ cm}^2 \approx 131.95 \text{ cm}^2$$

Respuesta: la etiqueta debe medir aproximadamente 132 cm². (Si además se quisiera cubrir las dos tapas, habría que sumar $2\pi(3)^2 = 18\pi \approx 56.55$ cm², para un total de $60\pi \approx 188.5$ cm²).

Página 17: el objeto sumergido

Problema: al meter un objeto en un recipiente con agua, el nivel sube 200 cm³. ¿Cuál es el volumen del objeto?

El objeto desplaza un volumen de agua igual al suyo. Respuesta: su volumen es de 200 cm³.

Página 18, ejemplo 1: un prisma hecho de cubos

Problema: un prisma está formado por cubos de 2.5 cm de arista: 3 a lo largo, 6 a lo ancho y 5 a lo alto. ¿Cuál es su volumen?

1. Número de cubos: $3 \times 6 \times 5 = 90$ cubos.
2. Volumen de cada cubo: $V_c = (2.5 \text{ cm})^3 = 15.625$ cm³.
3. Volumen total: $V = 90 \times 15.625 = 1406.25$ cm³.

Respuesta: el prisma tiene un volumen de 1 406.25 cm³.

Otra forma de verlo: el prisma mide $3(2.5) = 7.5$ cm, $6(2.5) = 15$ cm y $5(2.5) = 12.5$ cm, y $7.5 \times 15 \times 12.5 = 1406.25$ cm³.

Página 18, ejemplo 2: el volumen de una casa

Problema: una casa se compone de la planta principal, con un volumen de 226.8 m³, y la azotea, con 81 m³. ¿Cuál es su volumen total?

Es un sólido compuesto, así que se suman las partes:

$$V_{\text{casa}} = 226.8 \text{ m}^3 + 81 \text{ m}^3 = 307.8 \text{ m}^3$$

Respuesta: la casa tiene un volumen de 307.8 m³.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuál es la diferencia entre el área y el volumen de un sólido?Ver respuestaOcultar respuesta

El área mide la superficie que lo cubre (en unidades cuadradas, como cm²); el volumen mide el espacio que ocupa (en unidades cúbicas, como cm³).

2. ¿Cuál es el área total de un cubo de 4 cm de arista?Ver respuestaOcultar respuesta

Tiene 6 caras cuadradas de $4 \times 4 = 16$ cm², así que $A_T = 6 \times 16 = 96$ cm².

3. Un cilindro recto y uno inclinado tienen la misma base y la misma altura. ¿Cuál tiene más volumen?Ver respuestaOcultar respuesta

Tienen el mismo volumen, por el principio de Cavalieri: cualquier corte paralelo a la base da secciones de la misma área.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de geometría y medida

Temas relacionados: desarrollos planos de sólidos, fórmulas de área y volumen y volumen de prismas, pirámides y cilindros en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 14-19.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.
• Clemens, S. R., O’Daffer, P. G. y Cooney, T. J. (1998). Geometría. Addison Wesley Longman.

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