Ejercicios resueltos de variación, razón de cambio, regla de tres y reparto proporcional (3.° de secundaria)

Ejercicios de la unidad 3 del curso de Saberes y pensamiento científico 3: variación, covariación y proporcionalidad (páginas 68 a 75 y 115 a 121 del libro de la SEP). Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Variación y covariación

1.- Observa la tabla y escribe la expresión algebraica que relaciona $x$ con $y$. ¿Cuál es la razón de cambio?

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Cada vez que $x$ aumenta 1, $y$ aumenta 3: la razón de cambio es 3. Si $x = 1$, $y = 3(1) + 2 = 5$, así que la expresión es $y = 3x + 2$.

2.- Con la expresión $y = 4x - 1$, ¿cuánto vale $y$ cuando $x = 10$?

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$y = 4(10) - 1 = 39$.

3.- Calcula la razón de cambio entre los puntos (2, 10) y (6, 30).

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{30 - 10}{6 - 2} = \dfrac{20}{4} = 5$.

4.- Una alberca de 1 200 L se llena con una manguera que echa 40 L por minuto. Escribe la expresión del volumen y calcula en cuánto tiempo se llena.

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$V = 40t$ (litros, con $t$ en minutos). Se llena cuando $40t = 1200$, es decir, en $t = 30$ minutos.

5.- En esta tabla, ¿la razón de cambio es constante? ¿Su gráfica sería una recta?

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

No. De $x = 1$ a 2, $y$ aumenta 6; de 2 a 3, aumenta 10. Como los aumentos no son iguales, la gráfica es una curva (es $y = 2x^2$).

6.- Una vela mide 20 cm y se acorta 2 cm cada hora. Escribe la expresión de su altura. ¿En cuánto tiempo se consume?

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$y = 20 - 2x$. La razón de cambio es −2 cm por hora (negativa, porque disminuye). Se consume cuando $y = 0$: $20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$ horas.

7.- Un auto viaja a 60 km/h constantes. ¿Qué distancia recorre en 2.5 horas?

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$d = 60t = 60(2.5) = 150$ km.

Proporcionalidad y regla de tres

8.- Para recorrer una distancia fija, ¿la velocidad y el tiempo son directa o inversamente proporcionales?

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Inversamente: a mayor velocidad, menos tiempo. Su producto (la distancia) es constante.

9.- Doce cuadernos cuestan 228 pesos. ¿Cuánto cuestan 20?

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Es directa: $x = \dfrac{228 \times 20}{12} = 380$ pesos. (Cada cuaderno cuesta 19 pesos).

10.- Ocho llaves llenan un tanque en 6 horas. ¿Cuánto tardarían 12 llaves iguales?

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Es inversa: $x = \dfrac{8 \times 6}{12} = 4$ horas.

11.- Con 4 litros de pintura se pintan 30 m². ¿Cuántos metros cuadrados se pintan con 7 litros?

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Valor de la unidad: $\dfrac{30}{4} = 7.5$ m² por litro. Con 7 litros: $7 \times 7.5 = 52.5$ m².

12.- Cuatro albañiles terminan una barda en 15 días. ¿En cuántos días la terminarían 6 albañiles?

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Inversa, con $k = 4 \times 15 = 60$. Con 6 albañiles: $\dfrac{60}{6} = 10$ días.

Reparto proporcional

13.- Tres amigos compraron un boleto: aportaron 200, 300 y 500 pesos, y ganaron 5 000 pesos. ¿Cuánto le toca a cada uno si se reparte de forma directamente proporcional a lo que aportaron?

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$k = \dfrac{5000}{200 + 300 + 500} = \dfrac{5000}{1000} = 5$.

Les tocan $5 \times 200 = 1000$, $5 \times 300 = 1500$ y $5 \times 500 = 2500$ pesos.

14.- Un premio de 2 200 pesos se reparte entre dos estudiantes de forma inversamente proporcional a sus faltas: uno tuvo 2 faltas y el otro 3. ¿Cuánto recibe cada uno?

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Se reparte en proporción a los inversos: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, así que $k = \dfrac{2200}{5/6} = 2640$.

• El de 2 faltas: $\dfrac{2640}{2} = 1320$ pesos.
• El de 3 faltas: $\dfrac{2640}{3} = 880$ pesos.

Suman 2 200 y recibe más quien faltó menos.

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Variación y covariación

Regla de tres y reparto proporcional

Puedes seguir con la unidad de estadística y probabilidad en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP (temario de referencia).
• Baldor, A. (2007). Aritmética. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)