Ejercicios resueltos de geometría y medida para 3.° de secundaria (área, volumen y triángulos)

Ejercicios de la unidad 1 del curso de Saberes y pensamiento científico 3: geometría y medida. Corresponden a los temas de las páginas 14 a 41 y 96 a 141 del libro de la SEP. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento. Cuando se indique, usa π ≈ 3.14; si no, deja el resultado con π o redondea a centésimos.

Área y volumen de sólidos

1.- ¿Cuánto cartón se necesita para fabricar una caja cerrada de 4 cm × 3 cm × 10 cm?

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Es el área total del prisma: tres pares de caras iguales.

$A_T = 2(4 \times 3) + 2(4 \times 10) + 2(3 \times 10) = 2(12) + 2(40) + 2(30) = 24 + 80 + 60 = 164$ cm².

2.- Una lata mide 4 cm de radio y 11 cm de altura. ¿Qué área debe tener la etiqueta que cubre su costado?

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Es el área lateral: $A_L = 2\pi r h = 2\pi(4)(11) = 88\pi \approx 276.46$ cm².

3.- Calcula el área total de un cilindro de 2 cm de radio y 5 cm de altura.

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$A_T = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi(4) + 2\pi(2)(5) = 8\pi + 20\pi = 28\pi \approx 87.96$ cm².

4.- Un prisma está formado por cubos de 2 cm de arista: 4 a lo largo, 5 a lo ancho y 6 a lo alto. ¿Cuál es su volumen?

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Número de cubos: $4 \times 5 \times 6 = 120$. Volumen de cada cubo: $2^3 = 8$ cm³.

$V = 120 \times 8 = 960$ cm³.

5.- Una probeta tiene 500 mL de agua. Al meter una piedra, el nivel sube a 680 mL. ¿Cuál es el volumen de la piedra?

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

La piedra desplaza su propio volumen de agua: $680 - 500 = 180$ mL $= 180$ cm³ (1 mL = 1 cm³).

Congruencia y semejanza de triángulos

6.- En dos triángulos, $AB = A'B' = 7$ cm, $\angle B = \angle B' = 50°$ y $BC = B'C' = 9$ cm. ¿Son congruentes? ¿Por qué criterio?

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Sí, por el criterio L-A-L: dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos ($\angle B$) también igual.

7.- ¿Cuál de los siguientes no es un criterio de congruencia de triángulos?

• a) L-L-L
• b) L-A-L
• c) A-A-A
• d) A-L-A

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) A-A-A. Si los tres ángulos son iguales, los triángulos son semejantes, pero pueden tener distinto tamaño.

8.- Un poste de 2 m proyecta una sombra de 1.5 m. A la misma hora, un edificio proyecta una sombra de 12 m. ¿Cuánto mide el edificio?

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

El poste con su sombra y el edificio con la suya forman triángulos rectángulos semejantes (los rayos del sol llegan con el mismo ángulo), así que sus lados son proporcionales:

$\dfrac{h}{12} = \dfrac{2}{1.5} \;\Rightarrow\; h = \dfrac{2 \times 12}{1.5} = 16$ m.

9.- Los lados de un triángulo miden 5, 7 y 9 cm. Otro triángulo semejante tiene su lado mayor de 27 cm. ¿Cuánto miden sus otros lados?

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

La razón de semejanza es $\frac{27}{9} = 3$. Los otros lados miden $5 \times 3 = 15$ cm y $7 \times 3 = 21$ cm.

Desarrollos planos

10.- Un desarrollo plano tiene dos pentágonos regulares iguales y cinco rectángulos iguales. ¿Qué sólido forma?

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Un prisma pentagonal: los pentágonos son las bases y los rectángulos, las caras laterales.

11.- Una pirámide de base cuadrada tiene 12 m de lado y 8 m de altura. Calcula su altura lateral, su área total y su volumen.

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

• Altura lateral: $h_L = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ m (el 6 es la mitad del lado).
• Área lateral: $4 \times \dfrac{12 \times 10}{2} = 240$ m². Con la base ($12^2 = 144$ m²): $A_T = 384$ m².
• Volumen: $V = \dfrac{1}{3}(144)(8) = 384$ m³.

12.- Un cono tiene 5 cm de radio y 12 cm de altura. Calcula su generatriz, su área lateral y su volumen.

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

• Generatriz: $g = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ cm.
• Área lateral: $A_L = \pi r g = \pi(5)(13) = 65\pi \approx 204.2$ cm².
• Volumen: $V = \dfrac{1}{3}\pi(25)(12) = 100\pi \approx 314.16$ cm³.

Fórmulas y despejes

13.- Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio contiene 1 570 cm³ de agua. ¿Qué altura alcanza el agua? (Usa π ≈ 3.14).

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$V = \pi r^2 h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{1570}{3.14 \times 100} = \dfrac{1570}{314} = 5$ cm.

14.- Un tinaco cilíndrico mide 0.5 m de radio y 1.2 m de altura. ¿Cuántos litros le caben? (1 m³ = 1 000 L).

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$V = \pi(0.5)^2(1.2) = 0.3\pi \approx 0.942$ m³, es decir, unos 942 litros.

Sólidos de revolución, esfera y cono

15.- Un rectángulo de 3 cm × 8 cm gira alrededor de su lado de 8 cm. ¿Qué sólido se forma y cuál es su volumen?

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Un cilindro de radio 3 cm y altura 8 cm: $V = \pi(3)^2(8) = 72\pi \approx 226.19$ cm³.

16.- Un triángulo rectángulo con catetos de 6 cm y 3 cm gira solo un cuarto de vuelta alrededor del cateto de 6 cm. ¿Qué volumen tiene el sólido obtenido?

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Con la vuelta completa se formaría un cono de radio 3 cm y altura 6 cm: $V = \frac{1}{3}\pi(9)(6) = 18\pi$ cm³.

Un cuarto de vuelta da la cuarta parte: $\frac{18\pi}{4} = 4.5\pi \approx 14.14$ cm³.

17.- ¿Cuál es el volumen de una pelota de 6 cm de radio?

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi(216) = 288\pi \approx 904.78$ cm³.

18.- Un tubo mide 100 cm de largo, con radio exterior de 5 cm y radio interior de 4 cm. ¿Cuánto material tiene?

18. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Es el cilindro exterior menos el hueco: $V = \pi(5^2 - 4^2)(100) = \pi(9)(100) = 900\pi \approx 2827.43$ cm³.

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Área y volumen de sólidos

Congruencia y semejanza de triángulos

Desarrollos planos de sólidos

Volumen de prismas, pirámides y cilindros

También te pueden servir fórmulas de área y volumen, sólidos de revolución y volumen de la esfera, el cono y el cilindro en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP (temario de referencia).
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.

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