Eventos dependientes e independientes y probabilidad condicional, con ejemplos

En un volado, ¿es más probable que caiga águila si ya cayeron tres soles seguidos? No: la moneda «no recuerda» lo que pasó antes. Pero si sacas cartas de una baraja sin regresarlas, lo que sacaste antes sí cambia lo que puede salir después. Esa es la diferencia entre eventos independientes y dependientes.

En tu libro: este tema está en las páginas 82 a 88 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

Conceptos básicos

• Experimento aleatorio: aquel cuyo resultado depende del azar (lanzar un dado, un volado).
• Espacio muestral ($S$): el conjunto de todos los resultados posibles. Al lanzar un dado, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Evento: un conjunto de resultados que nos interesa («que salga par» = {2, 4, 6}).
• Cardinalidad: el número de elementos de un conjunto.

Eventos dependientes y probabilidad condicional

Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno influye en la probabilidad del otro. Para calcularlo se usa la probabilidad condicional $P(A \mid E)$, que se lee «probabilidad de $A$ dado que ocurrió $E$»: como ya sabemos que ocurrió $E$, el espacio muestral se reduce a los resultados de $E$.

$$P(A \mid E) = \frac{\text{casos de } A \text{ dentro de } E}{\text{casos de } E} = \frac{P(A \cap E)}{P(E)}$$

El símbolo $\cap$ significa intersección: los resultados que están en los dos eventos.

Página 83, ejemplo 1: un 4 sabiendo que salió par

Problema: se lanzó un dado y salió un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido un 4?

• Evento $A$ («sale 4»): {4}.
• Evento $E$ («sale par»): {2, 4, 6}, con cardinalidad 3.

Como sabemos que salió par, solo hay 3 posibilidades y una es el 4:

$$P(A \mid E) = \frac{1}{3} \quad\text{o, con la fórmula,}\quad \frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$

Sin la pista, la probabilidad de un 4 sería $\frac{1}{6}$: la información cambió la probabilidad.

Páginas 83 y 84, ejemplo 2: un 6 sabiendo que salió más de 2

Problema: se lanzó un dado y salió un número mayor que 2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea 6?

• Evento $F$ («mayor que 2»): {3, 4, 5, 6}, con cardinalidad 4.
• Evento $B$ («sale 6»): {6}.

$$P(B \mid F) = \frac{1}{4} \quad\text{o}\quad \frac{P(B \cap F)}{P(F)} = \frac{1/6}{4/6} = \frac{1}{4}$$

Eventos independientes y regla del producto

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta al otro. En ese caso, la probabilidad de que ocurran los dos es el producto de sus probabilidades:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Si los eventos son dependientes, la regla general es $P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$.

Páginas 85 y 86: los dos primeros hijos

Problema: una pareja quiere que sus dos primeros hijos sean una mujer y un hombre, sin importar el orden. ¿Qué probabilidad tienen? (Suponemos que cada nacimiento tiene probabilidad $\frac{1}{2}$ de ser hombre, $h$, o mujer, $m$).

El sexo del primer bebé no influye en el del segundo: son eventos independientes. Un diagrama de árbol muestra todos los casos:

El espacio muestral es $S = \{(h, h), (h, m), (m, h), (m, m)\}$, y por la regla del producto cada caso tiene $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Hay dos casos con un hombre y una mujer:

$$P(\text{uno de cada sexo}) = P(h, m) + P(m, h) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Respuesta: la probabilidad es $\frac{1}{2}$. Se puede simular lanzando dos monedas muchas veces (por ejemplo 80), con águila = hombre y sol = mujer, y comparar la frecuencia obtenida con la probabilidad teórica.

Páginas 87 y 88: la elección (ejemplo corregido)

Problema: en una elección hay dos alianzas, $A$ y $B$. El 45 % de los votantes son hombres ($H$) y el 55 % mujeres ($M$). Los hombres votaron 50 % por $B$ y 50 % por $A$; las mujeres, según el diagrama de árbol del libro, 40 % por $B$ y 60 % por $A$. Si se elige al azar a una persona que votó por $B$, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Aquí los eventos son dependientes: la probabilidad de votar por $B$ cambia según se trate de un hombre o de una mujer. Se usa la regla general del producto con $P(B \mid H)$, «probabilidad de votar por $B$ dado que es hombre»:

1. Hombre y votó por B: $P(H \cap B) = P(H) \times P(B \mid H) = 0.45 \times 0.5 = 0.225$.
2. Mujer y votó por B: $P(M \cap B) = P(M) \times P(B \mid M) = 0.55 \times 0.4 = 0.22$.
3. Total que votó por B: $P(B) = 0.225 + 0.22 = 0.445$.
4. Hombre, dado que votó por B:

$$P(H \mid B) = \frac{P(H \cap B)}{P(B)} = \frac{0.225}{0.445} \approx 0.506$$

Respuesta: aproximadamente 0.506, es decir, un 50.6 %.

Notas sobre el libro:

• En el diagrama, la probabilidad de cada rama se escribe como $P(H \mid B)$ y $P(M \mid B)$, pero lo correcto es $P(B \mid H)$ y $P(B \mid M)$: primero se sabe el sexo y luego el voto.
• El libro dice que se aplica «la regla del producto e independencia», pero estos eventos no son independientes: si lo fueran, la probabilidad de votar por $B$ sería la misma para hombres y mujeres.
• El enunciado dice que solo el 20 % de las mujeres votó por $B$ (y el resto se abstuvo), pero el cálculo usa 40 %. Con el 20 % del enunciado, $P(M \cap B) = 0.55 \times 0.2 = 0.11$, $P(B) = 0.335$ y $P(H \mid B) = \frac{0.225}{0.335} \approx 0.672$.

Comprueba lo aprendido

1. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que caigan dos águilas?Ver respuestaOcultar respuesta

Son independientes: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

2. Se lanzó un dado y salió impar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 3?Ver respuestaOcultar respuesta

Los impares son {1, 3, 5}: $P = \frac{1}{3}$.

3. Una bolsa tiene 3 canicas rojas y 2 azules. Sacas una roja y no la regresas. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente sea roja?Ver respuestaOcultar respuesta

Quedan 2 rojas de 4 canicas: $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Son eventos dependientes, porque la primera extracción cambió la bolsa.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de estadística y probabilidad

Temas relacionados: regla de la suma y regla del producto en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 82-88.
• Triola, M. F. (2018). Estadística (12.ª ed.). Pearson Educación.
• Batanero, C. (2005). «Significados de la probabilidad en la educación secundaria». Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 8(3), 247-263.

Ver libro de texto (SEP)