Problemas que se resuelven con ecuaciones cuadráticas, paso a paso

Muchos problemas de la vida diaria y de geometría llevan a una ecuación cuadrática: cuando aparece «el cuadrado de un número», el producto de dos cantidades desconocidas o el área de una figura. Lo difícil no suele ser resolver la ecuación, sino plantearla. Aquí verás un método en cuatro pasos.

En tu libro: este tema está en las páginas 105 a 108 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

Los cuatro pasos

1. Identificar la incógnita y asignarle una letra. Pregúntate: ¿qué me piden?, ¿cuánto?, ¿cuál?
2. Plantear la ecuación: traducir el enunciado al lenguaje algebraico.
3. Resolver la ecuación, por factorización o con la fórmula general.
4. Interpretar la solución: comprobarla y descartar las que no tengan sentido (una edad o una longitud negativa, un número que debía ser natural…).

Una ecuación cuadrática puede tener dos, una o ninguna solución real, y no todas las soluciones matemáticas son respuestas válidas del problema.

Algunas traducciones útiles

Problemas del libro resueltos

Página 106, problema 1: el cuadrado de un número

Problema: el cuadrado de un número menos 8 es igual a 56. ¿Cuál es el número?

1. Incógnita: el número, $m$.
2. Ecuación: $m^2 - 8 = 56$.
3. Resolución: se suma 8 de cada lado y se saca raíz cuadrada:

$$m^2 = 64 \quad\Rightarrow\quad m = \pm\sqrt{64} = \pm 8$$

4. Interpretación: las dos soluciones sirven, porque $8^2 = 64$ y $(-8)^2 = 64$.

Respuesta: el número es 8 o −8.

Página 107, problema 2: números consecutivos

Problema: el producto de dos números naturales consecutivos es 306. ¿Cuáles son?

1. Incógnita: el primer número, $x$; el siguiente es $x + 1$.
2. Ecuación: $x(x + 1) = 306$, es decir, $x^2 + x - 306 = 0$.
3. Resolución por factorización: dos números que multiplicados den −306 y sumados den 1: 18 y −17.

$$(x - 17)(x + 18) = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 17, \quad x_2 = -18$$

4. Interpretación: los números naturales son positivos, así que se descarta −18.

Respuesta: los números son 17 y 18. Comprobación: $17 \times 18 = 306$ ✓.

Páginas 107 y 108, problema 3: las edades

Problema: Emmanuel es 3 años mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es 225. ¿Qué edad tiene Emmanuel?

1. Incógnita: la edad del hermano, $w$. Emmanuel tiene $w + 3$.
2. Ecuación: $w^2 + (w + 3)^2 = 225$.
3. Resolución: se desarrolla el binomio al cuadrado, $(w + 3)^2 = w^2 + 6w + 9$:

$$w^2 + w^2 + 6w + 9 = 225 \quad\Rightarrow\quad 2w^2 + 6w - 216 = 0$$

Con la fórmula general ($A = 2$, $B = 6$, $C = -216$):

$$w = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(2)(-216)}}{2(2)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{1764}}{4} = \frac{-6 \pm 42}{4}$$

$$w_1 = \frac{36}{4} = 9 \qquad w_2 = \frac{-48}{4} = -12$$

Otra forma: dividiendo la ecuación entre 2 queda $w^2 + 3w - 108 = 0$, que se factoriza como $(w - 9)(w + 12) = 0$.

4. Interpretación: no hay edades negativas, así que el hermano tiene 9 años.

Respuesta: Emmanuel tiene 12 años. Comprobación: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ ✓.

Comprueba lo aprendido

1. El cuadrado de un número es 81. ¿Qué número puede ser?Ver respuestaOcultar respuesta

$x^2 = 81 \Rightarrow x = 9$ o $x = -9$.

2. Un rectángulo mide 3 cm más de largo que de ancho y su área es de 40 cm². ¿Cuáles son sus medidas?Ver respuestaOcultar respuesta

Si el ancho es $x$, el largo es $x + 3$: $x(x + 3) = 40 \Rightarrow x^2 + 3x - 40 = 0 \Rightarrow (x + 8)(x - 5) = 0$. Se descarta −8: mide 5 cm de ancho y 8 cm de largo.

3. ¿Por qué a veces se descarta una de las soluciones?Ver respuestaOcultar respuesta

Porque, aunque cumple la ecuación, no tiene sentido en el problema: una edad, una longitud o un número natural no pueden ser negativos.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de ecuaciones cuadráticas, Pitágoras y trigonometría

Temas relacionados: ecuaciones cuadráticas: fórmula general y factorización, el teorema de Pitágoras y volumen de prismas, pirámides y cilindros en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 105-108.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Pólya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Trillas.

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