Regla del producto de probabilidades para eventos independientes

«A o B» no es lo mismo que «A y B». Si te piden que se cumplan todas las condiciones a la vez, hay menos casos que te sirven, y la probabilidad es menor. Cuando los eventos son independientes, esa probabilidad se calcula multiplicando: es la regla del producto.

En tu libro: este tema está en las páginas 93 a 95 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

La regla del producto

Si $A$ y $B$ son independientes (que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro), la probabilidad de que ocurran los dos es:

$$P(A \text{ y } B) = P(A) \times P(B)$$

Como las probabilidades son números entre 0 y 1, al multiplicarlas el resultado es menor o igual que cada una: es más difícil cumplir dos condiciones que una sola.

Ejemplos del libro resueltos

Página 94, ejemplo 1: dos dados distintos

Problema: en un juego se lanzan un dado de 6 caras y otro de 9 caras. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos salga un número par?

• Evento A: par en el dado de 6 caras: {2, 4, 6}, así que $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Evento B: par en el dado de 9 caras: {2, 4, 6, 8}, así que $P(B) = \frac{4}{9}$.
• Un dado no influye en el otro: son independientes.

$$P(A \text{ y } B) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$$

Respuesta: $\frac{2}{9}$, que es menor que $\frac{1}{2}$ y que $\frac{4}{9}$.

Página 95, ejemplo 2: las paleterías

Problema: dos paleterías vendieron 300 paletas en un día:

Si se escoge al azar una paleta vendida, ¿cuál es la probabilidad de que sea de leche y de «La central»?

• Evento C (de leche): $P(C) = \dfrac{60}{300} = \dfrac{1}{5}$.
• Evento D (de «La central»): $P(D) = \dfrac{120}{300} = \dfrac{2}{5}$.

$$P(C \text{ y } D) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$$

Respuesta: $\frac{2}{25}$ (un 8 %).

Comprobación con la tabla: las paletas de leche de «La central» son 24 de 300, y $\frac{24}{300} = \frac{2}{25}$. Coincide porque en estos datos los dos eventos sí son independientes: en ambas paleterías, una de cada cinco paletas fue de leche ($\frac{36}{180} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$). Si no fuera así, habría que usar la probabilidad condicional, como en la clase de eventos dependientes e independientes.

Comprueba lo aprendido

1. Se lanzan una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila y un 6?Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$.

2. Un examen tiene dos preguntas de opción múltiple con 4 opciones cada una. Si contestas al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar las dos?Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$.

3. ¿Por qué la probabilidad de «A y B» es menor que la de A sola?Ver respuestaOcultar respuesta

Porque se multiplica por un número menor que 1: hay menos casos en los que se cumplen las dos condiciones a la vez que en los que se cumple solo una.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de estadística y probabilidad

Temas relacionados: regla de la suma y eventos dependientes e independientes en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 93-95.
• Triola, M. F. (2018). Estadística (12.ª ed.). Pearson Educación.

Ver libro de texto (SEP)