El teorema de Pitágoras: fórmula, demostración, historia y problemas resueltos

¿Qué tan alto llega una escalera recargada en la pared? ¿Cuánto mide la diagonal de una cancha? Cuando una distancia no se puede medir directamente pero forma parte de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras permite calcularla a partir de las otras dos.

En tu libro: este tema está en las páginas 55 a 62 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

El triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90° (ángulo recto). Sus lados tienen nombre:

• Catetos ($a$ y $b$): los dos lados que forman el ángulo recto.
• Hipotenusa ($c$): el lado opuesto al ángulo recto. Siempre es el lado más largo.

Qué dice el teorema

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

De ahí salen las fórmulas para despejar cualquier lado:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

Para la hipotenusa se suman los cuadrados; para un cateto, se restan (al cuadrado de la hipotenusa).

La idea geométrica: áreas de cuadrados

Originalmente el teorema se pensaba con áreas: si construyes un cuadrado sobre cada lado del triángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos.

Ejemplo del libro (página 59): si el cuadrado de un cateto tiene 9 cuadritos (lado 3) y el del otro tiene 16 (lado 4), el de la hipotenusa tiene $9 + 16 = 25$ cuadritos, así que la hipotenusa mide $\sqrt{25} = 5$.

Muchas demostraciones consisten en recortar los cuadrados de los catetos y acomodar las piezas hasta cubrir por completo el cuadrado de la hipotenusa.

Un poco de historia

• Los babilonios ya conocían ternas de números que cumplen esta relación hace casi 4 000 años, como muestra la tablilla Plimpton 322.
• Los egipcios usaban una cuerda con 12 nudos que dividía 3, 4 y 5 partes: al tensarla formaba un triángulo rectángulo, útil para trazar ángulos rectos en construcciones y para volver a medir los terrenos después de las crecidas del Nilo.
• En Grecia, hacia el 500 a. n. e., Pitágoras y su escuela dieron una demostración general. En el círculo cercano a Pitágoras participaron muchas mujeres; la más conocida es Teano de Crotona, considerada una de las primeras matemáticas de la historia.
• En el diálogo Menón, de Platón, Sócrates muestra el caso de un triángulo rectángulo isósceles dividiendo cuadrados en triángulos iguales.
• Las culturas mesoamericanas también aplicaron estas relaciones en el trazo de templos y ciudades.

El inverso del teorema de Pitágoras

También funciona al revés: si tres números cumplen $c^2 = a^2 + b^2$, entonces forman un triángulo rectángulo. A esas tercias se les llama ternas pitagóricas:

Problemas del libro resueltos

Para resolver un problema con el teorema de Pitágoras:

1. Identifica dónde está el ángulo recto y dibuja el triángulo.
2. Decide qué lado buscas: hipotenusa (se suma) o cateto (se resta).
3. Sustituye los datos y resuelve.

Página 61, ejemplo 1: la escalera

Problema: una escalera de 3 m está recargada en la pared, con su pie a 1 m de ella. ¿A qué altura llega?

La pared y el piso forman el ángulo recto. La escalera es la hipotenusa ($c = 3$) y la distancia al pie es un cateto ($b = 1$). Se busca el otro cateto:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} \approx 2.83 \text{ m}$$

Respuesta: la escalera alcanza unos 2.83 m de altura.

Página 62, ejemplo 2: el penal

Problema: una portería mide 2.44 m de alto, y el punto de penal está a 11 m de la línea de meta. ¿Qué distancia hay del punto de penal al centro del travesaño?

El poste es perpendicular al piso, así que la altura (2.44 m) y la distancia al penal (11 m) son los catetos. Se busca la hipotenusa:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2.44)^2 + (11)^2} = \sqrt{5.9536 + 121} = \sqrt{126.9536} \approx 11.27 \text{ m}$$

Respuesta: unos 11.27 m. (En el libro la fórmula aparece con un signo menos por error, pero el cálculo correcto es la suma, como se ve en la segunda línea).

Comprueba lo aprendido

1. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?Ver respuestaOcultar respuesta

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

2. La hipotenusa mide 13 m y un cateto 5 m. ¿Cuánto mide el otro cateto?Ver respuestaOcultar respuesta

$a = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ m.

3. ¿Un triángulo con lados de 7, 8 y 11 cm es rectángulo?Ver respuestaOcultar respuesta

No: $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$, pero $11^2 = 121$. Como no son iguales, no cumple el teorema.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de ecuaciones cuadráticas, Pitágoras y trigonometría

Temas relacionados: razones trigonométricas, congruencia y semejanza de triángulos y desarrollos planos de sólidos en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 55-62.
• Boyer, C. B. (1986). Historia de la matemática. Alianza Editorial.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.

Ver libro de texto (SEP)