Medidas de tendencia central y de dispersión: media, mediana, moda y desviación media

¿Conviene contratar al goleador del equipo la próxima temporada? ¿Qué proveedor de acero es mejor para un puente? Para decidir con datos no basta con verlos en una tabla: hay que resumirlos. Las medidas de tendencia central dicen alrededor de qué valor se agrupan los datos, y las medidas de dispersión, qué tan separados están de ese valor.

En tu libro: este tema está en las páginas 76 a 81 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

Medidas de tendencia central

La media (promedio)

La media aritmética $\bar{x}$ es la suma de todos los datos entre el número de datos:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$

La mediana

La mediana es el valor que divide los datos ordenados en dos mitades iguales.

• Primero se ordenan de menor a mayor.
• Si el número de datos es impar, es el dato del centro. En (1, 2, 4, 5, 6, 8, 9), la mediana es 5: hay tres datos antes y tres después.
• Si es par, es el promedio de los dos datos centrales.

La moda

La moda es el valor que más se repite. Puede haber más de una, o ninguna si ningún dato se repite.

Página 77: los goles del jugador

Un jugador anotó estos goles en 6 partidos: 3, 2, 0, 1, 3, 3.

• Media: $\bar{x} = \dfrac{3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 3}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$ goles por partido.
• Mediana: ordenados quedan (0, 1, 2, 3, 3, 3). Hay 6 datos, así que se promedian los dos centrales: $\dfrac{2 + 3}{2} = 2.5$.
• Moda: el 3, que aparece tres veces.

Medidas de dispersión

La media solo representa bien a los datos si estos están cerca de ella. Las medidas de dispersión indican esa cercanía: si son pequeñas, los datos están agrupados y la media es confiable; si son grandes, los datos están muy dispersos.

El rango y el rango medio

• El rango es la diferencia entre el dato mayor y el menor: $R = \text{máximo} - \text{mínimo}$. Mide qué tan extendidos están los datos.
• El rango medio es el promedio del dato menor y el mayor: $RM = \dfrac{\text{mínimo} + \text{máximo}}{2}$.

En el libro el rango medio aparece junto a las medidas de dispersión; en sentido estricto es un punto medio de los datos, y lo que mide la dispersión es el rango. En los goles: $R = 3 - 0 = 3$ goles y $RM = \dfrac{0 + 3}{2} = 1.5$.

La desviación media

La desviación media es el promedio de las distancias de cada dato a la media. Se usa el valor absoluto (la distancia, siempre positiva):

$$DM = \frac{|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}| + \dots + |x_n - \bar{x}|}{n}$$

En los goles ($\bar{x} = 2$):

$$DM = \frac{|0 - 2| + |1 - 2| + |2 - 2| + |3 - 2| + |3 - 2| + |3 - 2|}{6} = \frac{2 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

En promedio, cada partido se aleja 1 gol de la media: unas veces anota 3 y otras solo 1. Comparada con una media de 2, es una dispersión grande, así que el promedio no describe muy bien el comportamiento del jugador.

Ejemplo del libro: ¿qué acero es mejor? (páginas 79 a 81)

Problema: para un puente se probaron 10 resortes hechos con el acero de dos compañías y se midió su flexibilidad:

• Compañía A: 6.5, 6.7, 6.8, 7.0, 8.0, 8.5, 8.7, 8.7, 9.2, 9.3
• Compañía B: 9.6, 9.7, 9.8, 9.9, 10.1, 10.2, 10.2, 11.0, 11.0, 11.0

Compañía A:

• Media: $\dfrac{79.4}{10} = 7.94$
• Mediana: los datos centrales son 8.0 y 8.5, así que $\dfrac{8.0 + 8.5}{2} = 8.25$
• Moda: 8.7
• Rango medio: $\dfrac{6.5 + 9.3}{2} = 7.9$ (rango: $9.3 - 6.5 = 2.8$)
• Desviación media: las distancias a 7.94 suman $1.44 + 1.24 + 1.14 + 0.94 + 0.06 + 0.56 + 0.76 + 0.76 + 1.26 + 1.36 = 9.52$, así que $DM = 0.952$

Compañía B:

• Media: $\dfrac{102.5}{10} = 10.25$
• Mediana: $\dfrac{10.1 + 10.2}{2} = 10.15$
• Moda: 11.0
• Rango medio: $\dfrac{9.6 + 11.0}{2} = 10.3$ (rango: $11.0 - 9.6 = 1.4$)
• Desviación media: las distancias a 10.25 suman $0.65 + 0.55 + 0.45 + 0.35 + 0.15 + 0.05 + 0.05 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 4.5$, así que $DM = 0.45$

Conclusión: la compañía B tiene mayor flexibilidad promedio (lo que se busca) y una desviación media menor, es decir, sus resortes son más consistentes. Conviene elegir la compañía B.

Las medidas de tendencia central son útiles para decidir siempre que la dispersión sea pequeña respecto al valor central.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula la media, la mediana y la moda de 4, 7, 7, 8, 9.Ver respuestaOcultar respuesta

Media: $\dfrac{35}{5} = 7$. Mediana: 7 (el dato central). Moda: 7.

2. ¿Cuál es la mediana de 2, 5, 6, 9?Ver respuestaOcultar respuesta

Hay 4 datos: se promedian los centrales, $\dfrac{5 + 6}{2} = 5.5$.

3. Dos grupos tienen promedio de 8, pero la desviación media del grupo A es 0.3 y la del B es 1.8. ¿Qué significa?Ver respuestaOcultar respuesta

En el grupo A las calificaciones están muy cerca de 8 (son parejas); en el B están muy dispersas: hay calificaciones mucho más altas y mucho más bajas que 8.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de estadística y probabilidad

Temas relacionados: gráficas estadísticas y eventos dependientes e independientes en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 76-81.
• Triola, M. F. (2018). Estadística (12.ª ed.). Pearson Educación.
• Batanero, C. y Godino, J. D. (2001). Análisis de datos y su didáctica. Universidad de Granada.

Ver libro de texto (SEP)