Volumen de la esfera, el cono y el cilindro: fórmulas y su relación

El cilindro, el cono y la esfera tienen caras curvas, así que no se pueden «contar cubitos» tan fácilmente como en un prisma. Sin embargo, los tres están ligados al círculo, y sus volúmenes guardan una relación sorprendente que ya conocía Arquímedes hace más de 2 200 años.

En tu libro: este tema está en las páginas 126 a 131 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

El volumen del cilindro

Imagina un prisma cuya base es un polígono regular con muchísimos lados: se parece cada vez más a un cilindro. Como el volumen de un prisma es el área de la base por la altura, el del cilindro también:

$$V_{\text{cilindro}} = B \cdot h = \pi r^2 h$$

donde $B = \pi r^2$ es el área del círculo de la base y $h$ la altura. La fórmula vale tanto para el cilindro recto como para el oblicuo (inclinado), por el principio de Cavalieri.

El volumen del cono

De la misma manera, un cono se parece a una pirámide cuya base tiene muchísimos lados. Como el volumen de la pirámide es un tercio del área de la base por la altura:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} B \cdot h = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Es decir, un cono cabe exactamente tres veces en un cilindro con la misma base y la misma altura. Tampoco importa si el cono es recto u oblicuo.

El volumen de la esfera y el principio de Cavalieri

Para la esfera se usa el principio de Cavalieri: si dos sólidos tienen la misma altura y cualquier plano paralelo a la base los corta en secciones de igual área, entonces tienen el mismo volumen.

Se comparan dos sólidos de altura $2r$:

1. Una esfera de radio $r$.
2. Un cilindro de radio $r$ y altura $2r$, al que se le quitan dos conos con la punta en el centro y la base en cada tapa (como un reloj de arena hueco).

Si un plano corta a ambos a una distancia $d$ del centro:

• En la esfera, el corte es un círculo de radio $r_c$, con $r_c^2 + d^2 = r^2$ (teorema de Pitágoras). Su área es $\pi r_c^2 = \pi r^2 - \pi d^2$.
• En el otro sólido, el corte es una corona circular (un anillo) con radio exterior $r$ y radio interior $d$. Su área es $\pi r^2 - \pi d^2$.

¡Las áreas son iguales a cualquier altura! Entonces los volúmenes también lo son:

$$V_{\text{esfera}} = V_{\text{cilindro}} - 2V_{\text{cono}} = \pi r^2(2r) - 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 (r) = 2\pi r^3 - \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$$

La relación entre los tres volúmenes

Si un cilindro, un cono y una esfera tienen el mismo radio $r$, y el cilindro y el cono tienen altura $2r$ (la misma que la esfera):

Los volúmenes están en la razón 1 : 2 : 3. En particular, la esfera ocupa dos tercios del cilindro que la envuelve.

Ejemplos resueltos

Los siguientes ejemplos son nuestros, para practicar las fórmulas de las páginas 127 a 131 (usamos π ≈ 3.14).

Ejemplo 1: un vaso cilíndrico

¿Cuánta agua cabe en un vaso cilíndrico de 4 cm de radio y 10 cm de altura?

$$V = \pi r^2 h = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 3.14 \times 160 = 502.4 \text{ cm}^3$$

Caben unos 502 cm³, es decir, aproximadamente medio litro (1 L = 1 000 cm³).

Ejemplo 2: un cucurucho

Un cono de helado mide 3 cm de radio y 12 cm de altura. ¿Cuál es su volumen?

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 9 \times 12 = 113.04 \text{ cm}^3$$

Ejemplo 3: un balón

¿Cuánto aire contiene un balón de 11 cm de radio?

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 1331 \approx 5572.5 \text{ cm}^3$$

Casi 5.6 litros.

Ejemplo 4: la pelota en su caja

Una pelota de 5 cm de radio cabe justa en un bote cilíndrico (radio 5 cm, altura 10 cm). ¿Qué parte del bote queda vacía?

• Bote: $\pi(5)^2(10) = 250\pi \approx 785$ cm³.
• Pelota: $\frac{4}{3}\pi(5)^3 = \frac{500}{3}\pi \approx 523.3$ cm³, que es $\frac{2}{3}$ del bote.

Queda vacío un tercio del bote: unos 261.7 cm³.

Comprueba lo aprendido

1. Un cono y un cilindro tienen la misma base y la misma altura. Si el cilindro tiene 90 cm³, ¿cuánto tiene el cono?Ver respuestaOcultar respuesta

La tercera parte: $90 \div 3 = 30$ cm³.

2. ¿Cuál es la fórmula del volumen de la esfera?Ver respuestaOcultar respuesta

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, donde $r$ es el radio.

3. ¿Qué dice el principio de Cavalieri?Ver respuestaOcultar respuesta

Que si dos sólidos tienen la misma altura y sus cortes paralelos a la base tienen la misma área a cualquier altura, entonces tienen el mismo volumen.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de geometría y medida

Temas relacionados: sólidos de revolución, volumen de prismas, pirámides y cilindros y el teorema de Pitágoras en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 126-131.
• Arquímedes (c. 225 a. n. e.). Sobre la esfera y el cilindro.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.

Ver libro de texto (SEP)