Ecuaciones cuadráticas Ax² + Bx + C = 0: fórmula general y factorización

En una ecuación como $x^2 + 8x + 12 = 0$ no se puede despejar $x$ directamente, porque aparece elevada al cuadrado y también sola. Estas son las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, y hay dos métodos principales para resolverlas: la fórmula general, que sirve siempre, y la factorización, que es más rápida cuando se puede usar.

En tu libro: este tema está en las páginas 42 a 54 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

La forma polinómica

Una ecuación cuadrática es la que tiene un término con $x^2$ (de grado 2). Para resolverla, primero se escribe en su forma polinómica, igualada a cero:

$$Ax^2 + Bx + C = 0$$

• $A$: coeficiente del término cuadrático ($x^2$). Debe ser distinto de cero.
• $B$: coeficiente del término lineal ($x$).
• $C$: término independiente (el que no tiene $x$).

Si un término no tiene número escrito, su coeficiente es 1. Si falta el término lineal, $B = 0$; si falta el independiente, $C = 0$ (son ecuaciones incompletas). Los signos se conservan.

Ejemplos del libro (páginas 43 a 45): identificar A, B y C

La fórmula general

Con los valores de $A$, $B$ y $C$, las soluciones de cualquier ecuación cuadrática son:

$$x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$$

El símbolo $\pm$ indica que hay que hacer dos cálculos: uno sumando la raíz y otro restándola. Conviene escribir cada coeficiente entre paréntesis con su signo al sustituir.

La expresión dentro de la raíz, $B^2 - 4AC$, se llama discriminante y te dice cuántas soluciones hay:

Página 46 a 48: resolver x² + 8x + 12 = 0

Con $A = 1$, $B = 8$ y $C = 12$:

$$x = \frac{-(8) \pm \sqrt{(8)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}$$

$$x_1 = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Comprobación: $(-2)^2 + 8(-2) + 12 = 4 - 16 + 12 = 0$ ✓ y $(-6)^2 + 8(-6) + 12 = 36 - 48 + 12 = 0$ ✓.

Recuerda que al elevar al cuadrado un número negativo el resultado es positivo: $(-6)^2 = 36$.

Páginas 48 a 50: resolver 2x² − 7x + 6 = 0

Con $A = 2$, $B = -7$ y $C = 6$:

$$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(6)}}{2(2)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4} = \frac{7 \pm 1}{4}$$

$$x_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2 \qquad x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Comprobación con $x = \frac{3}{2}$: $2\left(\frac{9}{4}\right) - 7\left(\frac{3}{2}\right) + 6 = \frac{18}{4} - \frac{21}{2} + 6 = 4.5 - 10.5 + 6 = 0$ ✓.

Las otras dos ecuaciones

• $x^2 + 6x + 9 = 0$: $x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3$. El discriminante es cero, así que hay una sola solución.
• $x^2 - 16 = 0$: $x = \dfrac{0 \pm \sqrt{0 + 64}}{2} = \dfrac{\pm 8}{2}$, es decir, $x_1 = 4$ y $x_2 = -4$.

Resolver por factorización

Factorizar es escribir la expresión como una multiplicación de factores más sencillos. Si un producto es cero, al menos uno de los factores es cero, así que basta con igualar cada factor a cero.

Por ejemplo, $x^2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)$. Se comprueba multiplicando: $x^2 + 6x + 2x + 12 = x^2 + 8x + 12$. Fíjate en que $2 + 6 = 8$ (el valor de $B$) y $2 \times 6 = 12$ (el valor de $C$).

Cuando A = 1

Para factorizar $x^2 + Bx + C = 0$ se buscan dos números que multiplicados den $C$ y sumados den $B$.

Página 51 y 52: $x^2 + 6x + 9 = 0$. Dos números que sumen 6 y multipliquen 9: 3 y 3.

$$(x + 3)(x + 3) = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -3$$

Página 52 y 53: $x^2 - 16 = 0$ (es decir, $x^2 + 0x - 16 = 0$). Dos números que sumen 0 y multipliquen −16: −4 y 4.

$$(x - 4)(x + 4) = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 4, \quad x_2 = -4$$

Cuando A ≠ 1

Páginas 53 y 54: $2x^2 - 7x + 6 = 0$. Un método consiste en:

1. Multiplicar toda la ecuación por $A$ (aquí, por 2), dejando indicado el término lineal: $4x^2 - 7(2x) + 12 = 0$.
2. Notar que $4x^2 = (2x)^2$, así que los factores empiezan con $2x$: $(2x\ \ \ )(2x\ \ \ ) = 0$.
3. Buscar dos números que multiplicados den $A \cdot C = 12$ y sumados den $B = -7$: −3 y −4.

$$(2x - 3)(2x - 4) = 0$$

4. Igualar cada factor a cero: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$, y $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Son las mismas soluciones que dio la fórmula general. (Como multiplicamos por 2 al principio, ese producto es el doble de la ecuación original; dividiendo el segundo factor entre 2 queda $(2x - 3)(x - 2) = 0$, que es la factorización exacta).

¿Qué método elegir?

• La fórmula general funciona siempre.
• La factorización es más rápida, pero solo sirve cuando encuentras los números con facilidad.
• Los dos métodos deben dar las mismas soluciones.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuáles son A, B y C en la ecuación 3x² = 5x − 2?Ver respuestaOcultar respuesta

Se iguala a cero: $3x^2 - 5x + 2 = 0$. Entonces $A = 3$, $B = -5$ y $C = 2$.

2. Resuelve x² − 5x + 6 = 0 por factorización.Ver respuestaOcultar respuesta

Dos números que multiplicados den 6 y sumados −5: −2 y −3. $(x - 2)(x - 3) = 0$, así que $x_1 = 2$ y $x_2 = 3$.

3. ¿Cuántas soluciones reales tiene x² + 2x + 5 = 0?Ver respuestaOcultar respuesta

Ninguna: el discriminante es $2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$, que es negativo.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de ecuaciones cuadráticas, Pitágoras y trigonometría

Temas relacionados: problemas con ecuaciones cuadráticas, el teorema de Pitágoras y volumen de prismas, pirámides y cilindros en el curso de Saberes y pensamiento científico 3. Si quieres profundizar, revisa también ecuaciones de segundo grado en el curso de matemáticas de preparatoria.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 42-54.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.

Ver libro de texto (SEP)