Regla de la suma de probabilidades para eventos mutuamente excluyentes

Si lanzas un dado, ¿qué es más probable: que salga un 2, o que salga un 2 o un 4? Claramente lo segundo, porque hay más resultados que te sirven. Cuando una probabilidad lleva la palabra «o» y los eventos no pueden ocurrir a la vez, se calcula sumando: es la regla de la suma.

En tu libro: este tema está en las páginas 89 a 92 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

La probabilidad clásica (ley de Laplace)

Cuando todos los resultados son igual de probables, la probabilidad de un evento $A$ es:

$$P(A) = \frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número total de casos posibles}}$$

Siempre es un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro).

Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes (o disjuntos) cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo: en un solo lanzamiento de dado no puede salir 2 y 4 a la vez.

La regla de la suma

Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra $A$ o $B$ es la suma de sus probabilidades:

$$P(A \text{ o } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

El símbolo $\cup$ significa unión: los resultados que están en $A$, en $B$ o en ambos. La regla se extiende a tres o más eventos excluyentes: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$.

Para saber más: si los eventos sí pueden ocurrir a la vez, hay que restar lo que se contó dos veces: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Por ejemplo, «sale par o sale mayor que 4» en un dado: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$, porque el 6 es par y mayor que 4.

Ejemplos del libro resueltos

Página 90, ejemplo 1: un 2 o un 4

Problema: al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 2 o un 4?

• $P(\text{2}) = \frac{1}{6}$ y $P(\text{4}) = \frac{1}{6}$.
• No pueden salir a la vez: son mutuamente excluyentes.

$$P(2 \text{ o } 4) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Respuesta: $\frac{1}{3}$. Es lo mismo que la probabilidad de «un número par menor que 6».

Página 91, ejemplo 2: un 2, un 4 o un 6

Problema: al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2, 4 o 6?

$$P(2 \text{ o } 4 \text{ o } 6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Respuesta: $\frac{1}{2}$, que es la probabilidad de que salga un número par.

Página 92, ejemplo 3: la urna

Problema: una urna tiene 2 bolas rojas, 3 azules, 4 verdes y 1 negra (10 en total). Si se saca una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja, azul o negra?

• $P(R) = \frac{2}{10}$, $P(A) = \frac{3}{10}$, $P(N) = \frac{1}{10}$.

$$P(R \cup A \cup N) = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Respuesta: $\frac{3}{5}$. Es lo mismo que la probabilidad de que no sea verde: $1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10}$. Restarle a 1 la probabilidad del evento contrario (el complemento) es otro atajo muy útil.

Comprueba lo aprendido

1. En una baraja de 52 cartas hay 4 ases y 4 reyes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as o un rey?Ver respuestaOcultar respuesta

Son excluyentes: $\dfrac{4}{52} + \dfrac{4}{52} = \dfrac{8}{52} = \dfrac{2}{13}$.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga 1 o 6?Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

3. ¿Qué significa que dos eventos sean mutuamente excluyentes?Ver respuestaOcultar respuesta

Que no pueden ocurrir al mismo tiempo: si ocurre uno, el otro no.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de estadística y probabilidad

Temas relacionados: regla del producto y eventos dependientes e independientes en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 89-92.
• Triola, M. F. (2018). Estadística (12.ª ed.). Pearson Educación.

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