Sólidos de revolución: cilindro, cono y esfera a partir de figuras planas
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Un alfarero coloca la arcilla sobre un torno que gira y, mientras gira, la moldea con las manos. El resultado es una vasija simétrica respecto al eje del torno. Muchos sólidos geométricos se pueden obtener de una forma parecida: haciendo girar una figura plana alrededor de una recta.
En tu libro: este tema está en las páginas 122 a 125 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).
¿Qué es un sólido de revolución?
Un sólido de revolución es el cuerpo que se forma cuando una figura plana da una vuelta completa alrededor de una recta llamada eje de revolución. A diferencia de los poliedros, no se describe por sus caras, sino por la figura que lo genera y por el eje.
Los tres sólidos de revolución básicos
| Figura que gira | Eje de revolución | Sólido que se forma |
|---|---|---|
| Rectángulo (o cuadrado) | Uno de sus lados | Cilindro: su radio es el otro lado del rectángulo y su altura, el lado que está sobre el eje |
| Triángulo rectángulo | Uno de sus catetos | Cono: su radio es el otro cateto, su altura el cateto del eje y su generatriz, la hipotenusa |
| Semicírculo | Su diámetro | Esfera: tiene el mismo centro y el mismo radio que el semicírculo |
La esfera es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia (el radio) de un punto llamado centro.
Si cambias la posición de la figura respecto al eje, o la alejas de él, obtienes otros sólidos. Por ejemplo, un rectángulo que gira alrededor de un eje separado de él forma un cilindro hueco, como un tubo.
Propiedades de los sólidos de revolución
- Son simétricos respecto a su eje: si los giras sobre él, se ven exactamente iguales.
- Cualquier corte con un plano que contenga al eje da siempre la misma figura:
- En el cilindro, un rectángulo.
- En el cono, un triángulo isósceles.
- En la esfera, un círculo máximo, del mismo radio que la esfera.
Giros incompletos
Si la figura no da la vuelta completa, se obtiene solo una parte del sólido, y su volumen es la misma fracción del volumen total:
Ejemplos del libro resueltos
Página 124: un triángulo sobre un cuadrado
Problema: identificar el sólido que se obtiene al girar una figura formada por un cuadrado con un triángulo rectángulo encima, con el eje sobre uno de sus lados.
Se analiza cada parte por separado:
- El cuadrado, al girar sobre uno de sus lados, genera un cilindro.
- El triángulo rectángulo, al girar sobre uno de sus catetos, genera un cono.
Respuesta: el sólido es un cilindro con un cono encima, que comparten la misma base circular (como la punta de un lápiz sobre su cuerpo).
Página 125: tres cuartos de giro
Problema: al girar un cuadrado alrededor de uno de sus lados se obtiene un sólido de 24π cm³. ¿Qué volumen tendría el sólido si el cuadrado solo girara tres cuartos de vuelta?
- Con la vuelta completa, el cuadrado genera un cilindro de cm³.
- Tres cuartos de vuelta () producen tres cuartas partes de ese cilindro:
Respuesta: el sólido tiene un volumen de 18π cm³.
¿Para qué sirve?
Las máquinas llamadas tornos aprovechan esta idea para fabricar piezas simétricas de madera, metal o plástico: patas de mesa, tornillos, ejes, botellas y vasijas.
Comprueba lo aprendido
1. ¿Qué sólido se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos?
Un cono. El cateto del eje es su altura, el otro cateto su radio y la hipotenusa su generatriz.
2. ¿Qué figura plana genera una esfera?
Un semicírculo que gira alrededor de su diámetro.
3. Un rectángulo genera un cilindro de 40π cm³ al dar una vuelta completa. ¿Qué volumen se obtiene con media vuelta?
La mitad: cm³ (medio cilindro).
Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:
Ejercicios de geometría y medida
Temas relacionados: volumen de la esfera, el cono y el cilindro, desarrollos planos de sólidos y fórmulas de área y volumen en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.
Referencias
- Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 122-125.
- Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.
- Clemens, S. R., O’Daffer, P. G. y Cooney, T. J. (1998). Geometría. Addison Wesley Longman.
