Razones trigonométricas seno, coseno y tangente: tabla y problemas resueltos

Con el teorema de Pitágoras calculas un lado de un triángulo rectángulo si conoces los otros dos. Pero ¿y si conoces un ángulo y un solo lado? Para eso está la trigonometría, que relaciona los ángulos con las razones entre los lados.

En tu libro: este tema está en las páginas 109 a 114 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

Cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa

En un triángulo rectángulo, los nombres de los catetos dependen del ángulo que estés estudiando (nunca del ángulo recto):

• Hipotenusa (HIP): el lado opuesto al ángulo de 90°; siempre es el más largo.
• Cateto opuesto (CO): el cateto que está enfrente del ángulo.
• Cateto adyacente (CA): el cateto que forma el ángulo, junto con la hipotenusa.

Las tres razones trigonométricas

$$\operatorname{sen} A = \frac{\text{CO}}{\text{HIP}} \qquad \cos A = \frac{\text{CA}}{\text{HIP}} \qquad \tan A = \frac{\text{CO}}{\text{CA}}$$

Un truco para recordarlas es la palabra SOH-CAH-TOA: Seno = Opuesto / Hipotenusa, Coseno = Adyacente / Hipotenusa, Tangente = Opuesto / Adyacente.

Ejemplo del libro (páginas 110 y 111)

En el triángulo $FGH$, con el ángulo recto en $F$, $HF = 6$ cm, $FG = 8$ cm y la hipotenusa $HG = 10$ cm:

Observa que los catetos intercambian su nombre según el ángulo: $FG$ es opuesto a $H$ pero adyacente a $G$.

Las razones no dependen del tamaño del triángulo. Un triángulo semejante de lados 3, 4 y 5 cm da exactamente las mismas razones ($\operatorname{sen} G' = \frac{3}{5}$, $\cos G' = \frac{4}{5}$, $\tan G' = \frac{3}{4}$), porque sus lados son proporcionales. Por eso se pueden reunir en una tabla que sirve para cualquier triángulo.

La tabla trigonométrica

Valores redondeados a milésimos (los de la página 111 del libro):

También puedes usar una calculadora científica en modo grados (DEG): las teclas sin, cos y tan dan la razón de un ángulo, y sin⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹ dan el ángulo a partir de la razón.

Página 112, procedimiento 1: de ángulo a razón

¿Cuánto vale el seno de 25°? Se busca la fila de 25° y la columna «Seno»: 0.423.

Página 112, procedimiento 2: de razón a ángulo

¿Cuánto mide el ángulo $B$ si su tangente vale 0.702? En la columna «Tangente» el valor más cercano es 0.700, que corresponde a 35°.

Problemas del libro resueltos

Páginas 112 y 113: un ángulo y un cateto

Problema: en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 32 cm y el cateto opuesto al ángulo $A$ mide 14 cm. Hallar el ángulo $A$ y el cateto adyacente $AB$.

1. Conocemos CO y HIP, así que se usa el seno:

$$\operatorname{sen} A = \frac{14}{32} = 0.4375 \approx 0.438 \quad\Rightarrow\quad A \approx 26°$$

2. Con el ángulo, se usa la tangente para el cateto adyacente:

$$\tan 26° = \frac{14}{AB} \quad\Rightarrow\quad AB = \frac{14}{0.488} \approx 28.69 \text{ cm}$$

Respuesta: $A \approx 26°$ y $AB \approx 28.69$ cm. Comprobación con Pitágoras: $\sqrt{32^2 - 14^2} = \sqrt{828} \approx 28.77$ cm. La pequeña diferencia se debe a redondear el ángulo a 26° (en realidad mide 25.9°).

Páginas 113 y 114: la altura y el área de un paralelogramo

Problema: dos lados de un paralelogramo miden 15 cm y 21 cm y forman un ángulo de 60°. ¿Cuál es su altura y cuál su área?

1. Al trazar la altura se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa 15 cm; la altura es el cateto opuesto a 60°:

$$\operatorname{sen} 60° = \frac{h}{15} \quad\Rightarrow\quad h = 15 \times 0.866 \approx 12.99 \text{ cm}$$

2. El área del paralelogramo es base por altura:

$$A = 21 \times 12.99 \approx 272.79 \text{ cm}^2$$

Respuesta: la altura mide unos 12.99 cm y el área es de unos 272.79 cm².

¿Qué razón uso?

Comprueba lo aprendido

1. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo mide 5 y la hipotenusa 13. ¿Cuánto vale el seno de ese ángulo?Ver respuestaOcultar respuesta

$\operatorname{sen} = \dfrac{5}{13} \approx 0.385$.

2. Una rampa forma un ángulo de 25° con el suelo y mide 4 m de largo. ¿A qué altura llega? (sen 25° ≈ 0.423)Ver respuestaOcultar respuesta

$h = 4 \times 0.423 \approx 1.69$ m.

3. ¿Las razones trigonométricas de un ángulo cambian si el triángulo es más grande?Ver respuestaOcultar respuesta

No. Los triángulos con los mismos ángulos son semejantes y sus lados son proporcionales, así que las razones son iguales.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de ecuaciones cuadráticas, Pitágoras y trigonometría

Temas relacionados: el teorema de Pitágoras y congruencia y semejanza de triángulos en el curso de Saberes y pensamiento científico 3. Para seguir, revisa razones trigonométricas e identidades trigonométricas en el curso de matemáticas de preparatoria.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 109-114.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.

Ver libro de texto (SEP)