Volumen de prismas, pirámides y cilindros: métodos y problemas resueltos

Para saber cuánto concreto lleva una obra, cuánta agua cabe en un tinaco o cuánto material tiene una pieza, hay que calcular volúmenes. Casi cualquier objeto se puede descomponer en sólidos básicos: prismas, pirámides y cilindros.

En tu libro: este tema está en las páginas 132 a 141 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP). Abajo resolvemos sus seis ejemplos.

Prisma: contar cubos

Un prisma rectangular se puede llenar con cubitos iguales de arista $l_c$. Si caben $n_{\text{ancho}}$ cubos a lo ancho, $n_{\text{largo}}$ a lo largo y $n_{\text{alto}}$ a lo alto:

$$V_P = (n_{\text{ancho}} \times n_{\text{largo}} \times n_{\text{alto}}) \times l_c^3$$

Si reacomodas los factores, $n_{\text{ancho}} \cdot l_c$ es el ancho del prisma, y lo mismo pasa con el largo y el alto. Por eso:

$$V_P = \text{ancho} \times \text{largo} \times \text{alto} = A_B \times h$$

Esta fórmula vale para cualquier prisma, sea cual sea el polígono de su base: área de la base por la altura.

Pirámide: un tercio del prisma

Tres pirámides iguales, con base cuadrada y altura igual al lado de la base, se pueden acomodar para formar un cubo. Por eso cada pirámide tiene la tercera parte del volumen del cubo, y en general:

$$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} A_B \times h$$

Por el principio de Cavalieri, esto vale también para pirámides inclinadas con la misma base y altura.

Cilindro: un prisma de muchísimos lados

Si tomas prismas con bases de 3, 6, 30… lados, su base se parece cada vez más a un círculo y el prisma a un cilindro. Por eso:

$$V_{\text{cilindro}} = A_B \times h = \pi r^2 h$$

Ejemplos del libro resueltos

Páginas 134 y 135: un prisma hecho de cubos

Problema: un prisma rectangular está formado por cubos de 3.2 cm de arista: 5 a lo ancho, 3 a lo largo y 7 a lo alto. ¿Cuál es su volumen?

1. Número de cubos: $5 \times 3 \times 7 = 105$.
2. Volumen de cada cubo: $(3.2)^3 = 32.768$ cm³.
3. Volumen total: $105 \times 32.768 = 3440.64$ cm³.

Respuesta: 3 440.64 cm³. Comprobación: el prisma mide $16 \times 9.6 \times 22.4$ cm, y $16 \times 9.6 \times 22.4 = 3440.64$ cm³.

Página 137, ejemplo 1: la arandela

Problema: una arandela es un prisma de base cuadrada de 2.5 cm por lado y 0.7 cm de grosor, con un agujero cilíndrico de 2 cm de diámetro. ¿Cuál es su volumen? (Usa π ≈ 3.14).

1. Prisma completo: $A_B = 2.5 \times 2.5 = 6.25$ cm², y $V_P = 6.25 \times 0.7 = 4.375$ cm³.
2. Agujero: el radio es 1 cm, así que $A_B = \pi(1)^2 = 3.14$ cm² y $V_C = 3.14 \times 0.7 = 2.198$ cm³.
3. Arandela: se resta el agujero: $4.375 - 2.198 = 2.177$ cm³.

Respuesta: la arandela tiene aproximadamente 2.177 cm³.

Página 138, ejemplo 2: el ladrillo estructural

Problema: un ladrillo de 29 cm × 14 cm × 9 cm tiene dos agujeros cilíndricos iguales que lo atraviesan para pasar varillas. Su volumen es de unos 2 240 cm³. ¿Cuál es el radio de los agujeros?

1. Prisma sin agujeros: $V_P = (29 \times 14) \times 9 = 406 \times 9 = 3654$ cm³.
2. Volumen de los dos agujeros: $3654 - 2240 = 1414$ cm³, así que cada uno tiene $1414 \div 2 = 707$ cm³.
3. Radio: cada agujero es un cilindro de 9 cm de altura:

$$707 = \pi r^2 (9) \quad\Rightarrow\quad r = \sqrt{\frac{707}{9\pi}} = \sqrt{25.0} = 5 \text{ cm}$$

Respuesta: cada agujero tiene un radio de unos 5 cm.

Página 139, ejemplo 3: la Gran Pirámide de Cholula

Problema: la Gran Pirámide de Cholula (Puebla) es el basamento piramidal de mayor volumen del mundo. Se parece a una pirámide cuadrada de 450 m de lado y 55 m de altura. ¿Cuál es su volumen?

$$V = \frac{1}{3}(450 \text{ m} \times 450 \text{ m}) \times 55 \text{ m} = \frac{1}{3}(202\,500)(55) = 3\,712\,500 \text{ m}^3$$

Respuesta: unos 3 712 500 m³.

Páginas 139 y 140, ejemplo 4: el cofre

Problema: un cofre está formado por un prisma rectangular (16 cm de largo, 12 cm de alto y un ancho $d$ desconocido) y una tapa en forma de medio cilindro de diámetro $d$ y 16 cm de largo. Su volumen es de unos 2 548.3 cm³. ¿Cuánto mide $d$? (Usa π ≈ 3.14).

1. Cilindro completo de diámetro $d$ (radio $\frac{d}{2}$) y largo 16: $V_C = 3.14\left(\frac{d}{2}\right)^2(16) = 12.56d^2$. La mitad es $6.28d^2$.
2. Prisma: $V_P = 12 \times d \times 16 = 192d$.
3. Ecuación: $6.28d^2 + 192d = 2548.3$, es decir, $6.28d^2 + 192d - 2548.3 = 0$.
4. Fórmula general:

$$d = \frac{-192 \pm \sqrt{192^2 - 4(6.28)(-2548.3)}}{2(6.28)} = \frac{-192 \pm \sqrt{100\,877.3}}{12.56} = \frac{-192 \pm 317.6}{12.56}$$

Las soluciones son $d_1 \approx 10$ y $d_2 \approx -40.57$. Una medida no puede ser negativa.

Respuesta: el ancho del cofre es de unos 10 cm. (Para repasar la fórmula general, consulta la clase de ecuaciones cuadráticas).

Página 141, ejemplo 5: las columnas inclinadas

Problema: en un edificio hay columnas cilíndricas inclinadas de concreto, de 80 cm de radio. Cada una ocupa 6 m³. ¿Cuál es la distancia del piso al techo?

Por el principio de Cavalieri, un cilindro inclinado tiene el mismo volumen que uno recto con la misma base y la misma altura vertical, así que se usa $V = \pi r^2 h$ (en metros, porque el volumen está en m³):

1. Área de la base: $\pi(0.8 \text{ m})^2 = 0.64\pi \approx 2.01$ m².
2. Altura: $h = \dfrac{6}{0.64\pi} \approx 2.98$ m.

Respuesta: del piso al techo hay unos 3 m. Nota: el libro dice que «ambas columnas ocupan 6 m³», pero su cálculo usa 6 m³ para cada columna; si fueran 6 m³ entre las dos, la altura sería de solo 1.5 m.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuál es el volumen de un prisma triangular cuya base tiene 12 cm² y que mide 10 cm de alto?Ver respuestaOcultar respuesta

$V = A_B \times h = 12 \times 10 = 120$ cm³.

2. Una pirámide y un prisma tienen la misma base y la misma altura. Si el prisma tiene 600 cm³, ¿cuánto tiene la pirámide?Ver respuestaOcultar respuesta

La tercera parte: $600 \div 3 = 200$ cm³.

3. ¿Cómo se calcula el volumen de una pieza con un agujero?Ver respuestaOcultar respuesta

Se calcula el volumen del sólido completo y se le resta el volumen del agujero.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de geometría y medida

Temas relacionados: área y volumen de sólidos, volumen de la esfera, el cono y el cilindro y fórmulas de área y volumen en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 132-141.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.
• Instituto Nacional de Antropología e Historia. Zona Arqueológica de Cholula. INAH.

Ver libro de texto (SEP)