Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos y cómo despejar una variable

Las fórmulas de área y volumen son representaciones algebraicas: en lugar de medir cada objeto, basta con conocer algunas de sus dimensiones y sustituirlas. Además, si conoces el volumen o el área, puedes despejar la medida que te falta, como la profundidad de un estanque o la altura de una pirámide.

En tu libro: este tema está en las páginas 96 a 104 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

El cubo

Un cubo tiene seis caras cuadradas iguales. Si su arista mide $l$:

$$A_{\text{cara}} = l^2 \qquad A_T = 6l^2 \qquad V = l^3$$

El prisma

Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas y caras laterales rectangulares. Se nombra según su base (prisma triangular, cuadrangular, pentagonal…).

• Área lateral ($A_L$): la suma de las áreas de las caras laterales.
• Área total: las dos bases más el área lateral: $A_T = 2A_B + A_L$.
• Volumen: área de la base por la altura: $V = A_B \cdot h$.

Si la base es un polígono regular de $n$ lados, todas las caras laterales son iguales y $A_L = n \cdot (b \cdot h)$, donde $b$ es el lado de la base. Si la base es irregular, hay que calcular cada cara por separado y sumarlas.

Ejemplo: prisma cuadrangular con base cuadrada de lado $b$ y altura $h$:

$$A_B = b^2 \qquad A_L = 4bh \qquad A_T = 2b^2 + 4bh \qquad V = b^2 h$$

La pirámide

Una pirámide tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se unen en el vértice o cúspide. Hay que distinguir dos alturas:

• La altura de la pirámide ($h$): del vértice a la base, en perpendicular.
• La apotema de la pirámide o altura lateral ($a_p$): la altura de cada cara triangular.

Para una pirámide de base cuadrada de lado $b$:

$$A_{\text{cara}} = \frac{b \cdot a_p}{2} \qquad A_T = A_B + A_L \qquad V = \frac{A_B \cdot h}{3}$$

El volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma con la misma base y la misma altura.

El cilindro

Tiene dos bases circulares de radio $r$ y una cara curva que, desenrollada, es un rectángulo de $2\pi r$ por $h$:

$$A_L = 2\pi r h \qquad A_T = 2\pi r^2 + 2\pi r h \qquad V = \pi r^2 h$$

El cono

Tiene una base circular y una cara curva que termina en el vértice. La generatriz $g$ une el vértice con el borde de la base y forma un triángulo rectángulo con el radio y la altura:

$$g = \sqrt{r^2 + h^2} \qquad A_L = \pi r g \qquad A_T = \pi r^2 + \pi r g \qquad V = \frac{\pi r^2 h}{3}$$

Resumen de fórmulas

Calcular una variable en función de otras

Si conoces el resultado de una fórmula (por ejemplo, el volumen) y todas las medidas menos una, puedes sustituir los datos y despejar la medida que falta. Es como resolver una ecuación de primer grado.

Ejemplos del libro resueltos

Páginas 102 y 103: la profundidad de un estanque

Problema: un agricultor quiere construir un estanque con forma de prisma rectangular en un terreno de 20 m de largo y 15 m de ancho. Necesita que guarde 900 m³ de agua. ¿Qué profundidad debe tener?

1. Área de la base: $A_B = (20 \text{ m})(15 \text{ m}) = 300$ m².
2. Se sustituye en la fórmula del volumen y se despeja $h$:

$$V = A_B \cdot h \quad\Rightarrow\quad 900 = 300h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{900}{300} = 3$$

Respuesta: el estanque debe tener 3 m de profundidad.

Páginas 103 y 104: la maqueta de una pirámide

Problema: un estudiante quiere hacer la maqueta de una pirámide cuadrangular de 6 cm³ de volumen. El área de la base es de 9 cm² y la altura lateral (apotema) mide 2.5 cm. ¿Cuánto mide el lado de la base, cuál es la altura y cuánto material necesita (área total)?

1. Lado de la base: si $l^2 = 9$ cm², entonces $l = 3$ cm.
2. Altura: se despeja de la fórmula del volumen:

$$6 = \frac{9h}{3} \quad\Rightarrow\quad 18 = 9h \quad\Rightarrow\quad h = 2 \text{ cm}$$

3. Área de cada cara: $A_{\text{cara}} = \dfrac{3 \times 2.5}{2} = 3.75$ cm².
4. Área total: $A_T = 4(3.75) + 9 = 15 + 9 = 24$ cm².

Respuesta: el lado de la base mide 3 cm, la altura 2 cm y se necesitan 24 cm² de material.

Comprobación: la altura (2 cm), la mitad del lado (1.5 cm) y la apotema forman un triángulo rectángulo: $\sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5$ cm, justo el dato del problema.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de 2 cm de radio y 10 cm de altura? (Usa π ≈ 3.14).Ver respuestaOcultar respuesta

$V = \pi r^2 h = 3.14 \times 4 \times 10 = 125.6$ cm³.

2. Una caja con base de 25 cm² tiene un volumen de 200 cm³. ¿Cuál es su altura?Ver respuestaOcultar respuesta

$h = \dfrac{V}{A_B} = \dfrac{200}{25} = 8$ cm.

3. ¿Por qué el volumen de un cono se divide entre 3?Ver respuestaOcultar respuesta

Porque el cono ocupa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y la misma altura (igual que la pirámide respecto al prisma).

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de geometría y medida

Temas relacionados: área y volumen de sólidos, volumen de la esfera, el cono y el cilindro y volumen de prismas, pirámides y cilindros en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 96-104.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.
• Clemens, S. R., O’Daffer, P. G. y Cooney, T. J. (1998). Geometría. Addison Wesley Longman.

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