Ejercicios resueltos de ecuaciones cuadráticas, teorema de Pitágoras y trigonometría (3.° de secundaria)

Se pasa todo a un lado y se ordena: $-x^2 + 5x - 3 = 0$, con $A = -1$, $B = 5$ y $C = -3$.

Si multiplicas por −1 (es equivalente): $x^2 - 5x + 3 = 0$, con $A = 1$, $B = -5$ y $C = 3$.

Dos números que multiplicados den 10 y sumados −7: −2 y −5.

$(x - 2)(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 2,\ x_2 = 5$.

Dos números que multiplicados den −21 y sumados 4: 7 y −3.

$(x + 7)(x - 3) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = -7,\ x_2 = 3$.

$A = 3$, $B = -5$, $C = -2$:

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \dfrac{5 \pm 7}{6} \;\Rightarrow\; x_1 = \dfrac{12}{6} = 2,\ x_2 = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}$.

$x^2 = 49 \;\Rightarrow\; x = \pm 7$. También: $(x - 7)(x + 7) = 0$.

Se multiplica por 2: $4x^2 + 3(2x) - 4 = 0$. Buscamos dos números que multiplicados den $A \cdot C = -4$ y sumados 3: 4 y −1.

$(2x + 4)(2x - 1) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = -2,\ x_2 = \dfrac{1}{2}$.

El discriminante es $(-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$: tiene una sola solución, $x = \dfrac{6}{2} = 3$. Es $(x - 3)^2 = 0$.

$x^2 + x = 42 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 42 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 7)(x - 6) = 0$.

El número es 6 o −7. Comprobación: $36 + 6 = 42$ y $49 - 7 = 42$.

Ancho $x$, largo $x + 7$: $x(x + 7) = 60 \;\Rightarrow\; x^2 + 7x - 60 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 12)(x - 5) = 0$.

Se descarta −12: el terreno mide 5 m de ancho y 12 m de largo.

$x(x + 4) = 96 \;\Rightarrow\; x^2 + 4x - 96 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 12)(x - 8) = 0$.

Se descarta −12: tienen 8 y 12 años.

$c = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm.

$a = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ m.

La diagonal es la hipotenusa: $h = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600 - 1024} = \sqrt{576} = 24$ pulgadas.

Sí, por el inverso del teorema: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$.

Conocemos el cateto adyacente (20 m) y buscamos el opuesto: tangente.

$h = 20 \times \tan 35° = 20 \times 0.700 = 14$ m.

• Altura (cateto opuesto): $5 \times \operatorname{sen} 36° = 5 \times 0.588 = 2.94$ m.
• Distancia (cateto adyacente): $5 \times \cos 36° = 5 \times 0.809 \approx 4.05$ m.

$\tan = \dfrac{7}{10} = 0.700$, que en la tabla corresponde a 35°.

$\operatorname{sen} = \dfrac{3}{5} = 0.6$, $\cos = \dfrac{4}{5} = 0.8$ y $\tan = \dfrac{3}{4} = 0.75$.