Desarrollos planos de prismas, pirámides, cilindros y conos con ejemplos

Una caja de cartón tiene seis caras, pero no se fabrica pegando seis piezas: se recorta una sola plantilla con todas las caras unidas y luego se dobla. Esa plantilla es el desarrollo plano del sólido, y sirve para construirlo, para calcular su área y para ahorrar material.

En tu libro: este tema está en las páginas 30 a 41 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

¿Qué es un desarrollo plano?

El desarrollo plano de un sólido es la figura que se obtiene al «desdoblar» todas sus caras sobre un plano, sin separarlas. Si el sólido es un poliedro, su desarrollo está formado solo por polígonos.

Dos ideas importantes:

• Un mismo sólido puede tener varios desarrollos planos distintos. El cubo, por ejemplo, tiene 11.
• No cualquier acomodo de caras funciona: al doblarlo, las aristas y los vértices deben coincidir.

Cubo y octaedro

El cubo se forma con seis cuadrados iguales. El octaedro se forma con ocho triángulos equiláteros iguales. Ambos son sólidos platónicos: poliedros cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se junta siempre el mismo número de caras. Solo existen cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

En el octaedro se juntan 4 aristas en cada vértice. Por eso, el libro muestra un acomodo de ocho triángulos que no es un desarrollo del octaedro: en uno de sus vértices se juntan 5 aristas, y al doblarlo no se cierra el sólido.

Prismas

El desarrollo de un prisma tiene:

• Dos bases iguales (los polígonos de los extremos), que no comparten ninguna arista entre sí.
• Las caras laterales, que son rectángulos. Si las bases son polígonos regulares, todos esos rectángulos son iguales.

Un buen acomodo es poner los rectángulos en fila, unidos por su lado mayor, y pegar una base arriba y otra abajo.

Cilindro

El desarrollo de un cilindro se forma con dos círculos (las bases) y un rectángulo (la cara curva desenrollada). El rectángulo mide:

• De alto: la altura del cilindro.
• De largo: el perímetro del círculo de la base, $2\pi r$ (o $\pi D$ si conoces el diámetro).

Pirámide

Una pirámide tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un punto, el vértice (o cúspide). Su desarrollo es el polígono de la base con un triángulo pegado a cada lado. En una pirámide regular (base regular y vértice justo arriba del centro), esos triángulos son isósceles e iguales.

Para dibujar los triángulos necesitas su altura, llamada altura lateral o apotema de la pirámide ($h_L$). En una pirámide de base cuadrada de lado $b$ y altura $h$, se forma un triángulo rectángulo con la altura, la mitad del lado y la altura lateral, así que por el teorema de Pitágoras:

$$h_L = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

Cono

El cono tiene una base circular y una cara curva que termina en el vértice. La distancia del vértice a cualquier punto del borde de la base es la generatriz o altura lateral ($g$). Su desarrollo plano es:

• El círculo de la base, de radio $r$.
• Un sector circular de radio $g$, cuyo arco mide lo mismo que el perímetro de la base, $2\pi r$.

El área de ese sector (el área lateral del cono) es $A_L = \pi r g$.

Ejemplos del libro resueltos

Página 33, ejemplo 1: prisma de base triangular

Problema: trazar el desarrollo de un prisma cuyas bases son triángulos equiláteros de 30 cm de lado y que mide 80 cm de largo.

• Bases: dos triángulos equiláteros de 30 cm por lado.
• Caras laterales: tres rectángulos de 30 cm × 80 cm.

Se colocan los tres rectángulos en fila, unidos por su lado de 80 cm, y se pega un triángulo arriba y otro abajo, en lados distintos para que las bases no compartan arista.

Dato extra: su área total es $3(30 \times 80) + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 30^2\right) = 7200 + 779.4 \approx 7979.4$ cm².

Página 34, ejemplo 2: identificar el sólido

Un desarrollo formado por seis rectángulos iguales y dos hexágonos regulares iguales corresponde a un prisma hexagonal (de base hexagonal).

Página 34, ejemplo 3: prisma de base triangular rectángula

Problema: obtener el desarrollo de un prisma cuyas bases son triángulos rectángulos de 30 cm, 40 cm y 50 cm, y que mide 75 cm de largo.

Sus caras son:

Cada rectángulo se une a la base por el lado que mide lo mismo. Dato extra: el área total es $1200 + 2250 + 3000 + 3750 = 10\,200$ cm².

Página 35: desarrollo de un cilindro

Problema: construir el desarrollo de un cilindro con base de 5 cm de radio y 4.5 cm de altura (con $\pi \approx 3.14$).

• Bases: dos círculos de 5 cm de radio.
• Rectángulo: alto 4.5 cm; largo igual al perímetro de la base: $2\pi r = 2(3.14)(5) = 31.4$ cm.

El desarrollo es un rectángulo de 31.4 cm × 4.5 cm con un círculo de 5 cm de radio pegado en cada lado largo. (En el libro aparece «5 m de radio», pero el resto del ejemplo usa centímetros).

Página 37, ejemplo 1: la pirámide del Sol

Problema: la pirámide del Sol, en Teotihuacan, mide unos 65 m de altura y su base es aproximadamente un cuadrado de 794 m de perímetro. Obtener su desarrollo plano considerándola una pirámide cuadrada regular.

1. Lado de la base: $b = \dfrac{794 \text{ m}}{4} = 198.5$ m.
2. Altura lateral de cada triángulo:

$$h_L = \sqrt{(65)^2 + \left(\frac{198.5}{2}\right)^2} = \sqrt{4225 + 9850.5625} = \sqrt{14\,075.5625} \approx 118.64 \text{ m}$$

El desarrollo es un cuadrado de 198.5 m de lado con cuatro triángulos isósceles, de 198.5 m de base y 118.64 m de altura, uno en cada lado.

Página 38, ejemplo 2: identificar el sólido

Un desarrollo con un hexágono regular (de 25.5 cm de lado) y seis triángulos isósceles iguales (con lados de 52.1 cm) corresponde a una pirámide hexagonal regular. Los 52.1 cm son la distancia del vértice de la pirámide a cada vértice de la base, es decir, sus aristas laterales.

Página 40: la escultura en forma de cono

Problema: una escultura con forma de cono tiene una base de 6 m de radio y 8 m de altura. ¿Qué desarrollo se recortó de la lámina de metal?

1. Base: un círculo de 6 m de radio.
2. Generatriz (radio del sector), con el triángulo rectángulo formado por la altura y el radio:

$$g = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}$$

3. Arco del sector, igual al perímetro de la base: $2\pi(6) \approx 37.7$ m.

El desarrollo es un círculo de 6 m de radio y un sector circular de 10 m de radio con un arco de 37.7 m. Dato extra: ese sector abarca $\frac{6}{10} \times 360° = 216°$.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué figuras forman el desarrollo plano de un cilindro?Ver respuestaOcultar respuesta

Dos círculos iguales (las bases) y un rectángulo cuyo largo es el perímetro de la base y cuyo alto es la altura del cilindro.

2. Un desarrollo tiene un pentágono y cinco triángulos isósceles iguales. ¿Qué sólido forma?Ver respuestaOcultar respuesta

Una pirámide pentagonal regular.

3. ¿Cuánto mide el largo del rectángulo en el desarrollo de un cilindro de 10 cm de diámetro? (Usa π ≈ 3.14).Ver respuestaOcultar respuesta

Es el perímetro de la base: $\pi D = 3.14 \times 10 = 31.4$ cm.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de geometría y medida

Temas relacionados: área y volumen de sólidos, sólidos de revolución y el teorema de Pitágoras en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 30-41.
• Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio, y trigonometría. Publicaciones Cultural.
• Instituto Nacional de Antropología e Historia. Zona Arqueológica de Teotihuacan. INAH.

Ver libro de texto (SEP)