Variación y covariación: tablas, gráficas y expresiones

Todo cambia: la altura de una planta, el agua de un tinaco, la distancia que recorre un auto. Las matemáticas estudian cómo cambian las cantidades y, sobre todo, cómo cambia una cuando cambia otra. Eso permite describir un fenómeno y predecir sus valores futuros.

En tu libro: este tema está en las páginas 68 a 75 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

Variable, variación y covariación

Una variable es una cantidad que cambia (el tiempo, la estatura, el volumen).
La variación es cuánto cambia. Se calcula con una resta: valor nuevo menos valor anterior, $x_2 - x_1$ .
La covariación es la coordinación de los cambios de dos variables que cambian juntas: cuando una cambia, la otra también. Se dice que son covariantes.

Para describir una covariación conviene responder: ¿cuál es el valor inicial?, ¿qué cambió?, ¿cuánto cambió cada variable?

Página 69 y 70: mesas y niños en una fiesta

En una fiesta se juntan mesas y se sientan niños alrededor:

Mesas ( $m$ )	1	2	3	4	…
Niños ( $n$ )	4	6	8	10	…

Las variables son el número de mesas y el de niños.
Cada vez que se agrega 1 mesa, caben 2 niños más.
El patrón es: niños = el doble de las mesas más 2. En álgebra, $n = 2m + 2$ .

Con la expresión puedes predecir sin dibujar: con 10 mesas caben $2(10) + 2 = 22$ niños, y con 20 mesas, $2(20) + 2 = 42$ .

Página 70 y 71: edad y estatura

Edad en años ( $x$ )	11	12	13	14	15
Estatura promedio en cm ( $y$ )	140	145	150	155	160

De 12 a 13 años, la edad cambia $13 - 12 = 1$ año y la estatura $150 - 145 = 5$ cm. Lo mismo ocurre en cada año de la tabla: por cada año, la estatura promedio aumenta 5 cm. Identificar esa coordinación entre los dos cambios es la esencia de la covariación.

Los incrementos y la razón de cambio

El cambio de una variable se escribe con la letra griega delta ( $\Delta$ ):

$\Delta x = x_2 - x_1 \qquad \Delta y = y_2 - y_1$

La razón de cambio compara los dos cambios: cuánto cambia $y$ por cada unidad que cambia $x$ .

$\text{razón de cambio} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Si la razón de cambio es siempre la misma, se dice que es constante, y la gráfica es una línea recta.

Tres formas de representar la variación

Representación tabular (página 72)

Situación: una cubeta de 20 litros se llena con agua a razón de 0.5 litros por segundo.

Tiempo ( $x$ , en s)	1	2	3	10	40
Volumen ( $y$ , en L)	0.5	1	1.5	5	20

Para describir la covariación con la tabla:

Valores correspondientes: (1, 0.5), (2, 1), (3, 1.5)…
Dirección del cambio: si el tiempo aumenta, el volumen también.
Medida del cambio: cada segundo, el volumen aumenta 0.5 L.
Razón: 0.5 L/s, constante: a aumentos iguales del tiempo corresponden aumentos iguales del volumen.

La cubeta se llena en 40 segundos.

Representación algebraica (página 73)

En la tabla, cada volumen es el tiempo multiplicado por 0.5. Con letras:

$y = 0.5x$

Con esta expresión se genera cualquier pareja: si $x = 10$ , $y = 5$ ; si $x = 100$ , $y = 50$ (aunque esta cubeta se desbordaría a los 40 s). La razón de cambio se comprueba con cualquier par de valores:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1 - 0.5}{2 - 1} = \frac{1.5 - 1}{3 - 2} = 0.5$

Representación gráfica (página 74)

Situación: la gráfica muestra el crecimiento de una planta. Pasa por los puntos (0, 3), (2, 7), (4, 11) y (6, 15), con el tiempo en meses y la altura en centímetros.

altura = 2t + 3

Crecimiento de una planta: altura en centímetros contra tiempo en meses, una recta que pasa por (0, 3), (2, 7), (4, 11) y (6, 15)

Cada 2 meses ( $\Delta x = 2$ ) la altura aumenta 4 cm ( $\Delta y = 4$ ), siempre igual. En la gráfica, esos cambios son los catetos de los triangulitos que se forman bajo la recta.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm por mes}$

La planta crece 2 cm por mes. Como empezó midiendo 3 cm, su altura es $y = 2x + 3$ .

Una variación que no es constante (página 75)

El área de un cuadrado depende de su lado: $A = l^2$ . Su gráfica no es una recta, sino una curva:

A = l²

Área de un cuadrado contra la medida de su lado: una curva que pasa por (1, 1), (2, 4) y (3, 9)

Lado cambia de…	0 a 1	1 a 2	2 a 3
El área aumenta	1	3	5

El lado aumenta siempre 1, pero el área aumenta cada vez más: la razón de cambio no es constante.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué diferencia hay entre variación y covariación?

La variación es cuánto cambia una cantidad; la covariación es cómo se coordinan los cambios de dos cantidades que cambian juntas.

2. Un taxi cobra 15 pesos de banderazo más 8 pesos por kilómetro. ¿Cuál es la expresión y cuánto cuesta un viaje de 6 km?

$y = 8x + 15$ . Con $x = 6$ : $y = 8(6) + 15 = 63$ pesos.

3. Un tinaco tenía 200 L a las 8:00 y 140 L a las 11:00. ¿Cuál es la razón de cambio?

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{140 - 200}{11 - 8} = \dfrac{-60}{3} = -20$ L por hora. Es negativa porque el tinaco se vacía.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de variación y proporcionalidad

Temas relacionados: regla de tres y reparto proporcional y lectura de gráficas estadísticas en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 68-75.
Thompson, P. W. y Carlson, M. P. (2017). «Variation, covariation, and functions». En J. Cai (ed.), Compendium for Research in Mathematics Education. NCTM.
Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.

Ver libro de texto (SEP)

Variación y covariación: tabla, expresión algebraica, gráfica y razón de cambio

Variable, variación y covariación