Regla de tres y reparto proporcional directo e inverso: problemas resueltos

Repartir el dinero de una cooperativa según lo que aportó cada quien, o dividir un premio entre los primeros lugares de una carrera según su tiempo: son problemas de reparto proporcional. Para resolverlos hay que reconocer si la relación entre las cantidades es directa o inversa.

En tu libro: este tema está en las páginas 115 a 121 de Saberes y pensamiento científico. Tercer grado (SEP).

Proporcionalidad directa e inversa

La constante $k$ se llama constante de proporcionalidad.

Regla de tres directa

Si «A es a B como C es a $x$» y la relación es directa:

$$\frac{A}{B} = \frac{C}{x} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{B \times C}{A}$$

Página 116 y 117: el dispensador de agua

Problema: un dispensador rellena 15 garrafas en 5 minutos. ¿Cuántas rellena en los 20 minutos del recreo?

A más tiempo, más garrafas: es directa. «5 minutos es a 15 garrafas como 20 minutos es a $x$»:

$$x = \frac{15 \text{ garrafas} \times 20 \text{ min}}{5 \text{ min}} = 60 \text{ garrafas}$$

Las unidades de tiempo se cancelan y el resultado queda en garrafas. Respuesta: 60 garrafas.

Reducción a la unidad

Otra forma de resolver una proporción directa es calcular primero cuánto corresponde a 1 (el valor de la unidad, que es la constante $k$) y luego multiplicar.

Página 117: ¿cuántas garrafas alcanza a llenar?

Problema: con 5 litros se llenan 10 garrafas pequeñas. ¿Cuántas se llenan con los 150 L del dispensador?

1. Valor de la unidad: $\dfrac{10 \text{ garrafas}}{5 \text{ L}} = 2$ garrafas por litro (cada garrafa es de medio litro).
2. Para 150 L: $150 \times 2 = 300$ garrafas.

Respuesta: el dispensador llena 300 garrafas antes de vaciarse.

Regla de tres inversa

Si la relación es inversa, el producto se mantiene: $A \times B = C \times x$, así que

$$x = \frac{A \times B}{C}$$

Página 117 y 118: más dispensadores

Problema: un dispensador tarda 20 minutos en atender a 60 estudiantes. ¿Cuánto tardan 4 dispensadores?

A más dispensadores, menos tiempo: es inversa.

$$x = \frac{1 \text{ dispensador} \times 20 \text{ min}}{4 \text{ dispensadores}} = 5 \text{ min}$$

Respuesta: 5 minutos: cuatro veces más dispensadores hacen que el tiempo sea la cuarta parte.

Reparto proporcional

Si todos reciben lo mismo, el reparto es equitativo. Si cada quien recibe según alguna condición (lo que aportó, lo que trabajó, su tiempo…), el reparto es proporcional, y puede ser directo o inverso.

Reparto directo

Para repartir una cantidad $M$ en partes $A$, $B$ y $C$ directamente proporcionales a $a$, $b$ y $c$:

$$\frac{A}{a} = \frac{B}{b} = \frac{C}{c} = \frac{M}{a + b + c} = k \quad\Rightarrow\quad A = k \cdot a,\ B = k \cdot b,\ C = k \cdot c$$

Página 119: la cooperativa escolar

Problema: 200 estudiantes aportaron a la cooperativa así:

Al final del año la cooperativa reunió $20 000, que se reparten en proporción directa a lo que aportó cada grupo.

1. Constante: $k = \dfrac{20\,000}{11\,450} \approx 1.7467$. Cada peso aportado se convierte en $1.75 aproximadamente.
2. Lo que recibe cada grupo:

Comprobación: $2096.07 + 6550.22 + 11\,353.71 = 20\,000$. Nota: el libro redondea la constante a 1.747 y obtiene $2 096.40, $6 551.25 y $11 355.50 (por estudiante, $34.94, $87.35 y $174.70); por ese redondeo, la suma se pasa del total por unos $3. Si usas más decimales, la suma da exactamente $20 000.

Reparto inverso

Para repartir $M$ en partes inversamente proporcionales a $a$, $b$ y $c$, se reparte en proporción a sus inversos $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$ y $\frac{1}{c}$: quien tiene el número más pequeño recibe más.

$$\frac{A}{1/a} = \frac{B}{1/b} = \frac{C}{1/c} = \frac{M}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$$

Páginas 120 y 121: los premios de una carrera

Problema: en una carrera de bicicletas se reparten $1 450 000 entre los tres primeros lugares, de forma inversamente proporcional a su tiempo. El primero tardó 1 h 12 min, el segundo 96 min y el tercero llegó 12 minutos después del segundo.

1. Tiempos en minutos: $a = 72$, $b = 96$ y $c = 96 + 12 = 108$.
2. Suma de los inversos con denominador común 864:

$$\frac{1}{72} + \frac{1}{96} + \frac{1}{108} = \frac{12}{864} + \frac{9}{864} + \frac{8}{864} = \frac{29}{864}$$

3. Constante: $k = \dfrac{1\,450\,000}{29/864} = \dfrac{1\,450\,000 \times 864}{29} = 43\,200\,000$.
4. Premios:

$$A = \frac{43\,200\,000}{72} = 600\,000 \qquad B = \frac{43\,200\,000}{96} = 450\,000 \qquad C = \frac{43\,200\,000}{108} = 400\,000$$

Respuesta: el primer lugar recibe $600 000, el segundo $450 000 y el tercero $400 000. Suman $1 450 000 y quien tardó menos recibió más.

Comprueba lo aprendido

1. Si 3 kg de manzana cuestan 75 pesos, ¿cuánto cuestan 7 kg?Ver respuestaOcultar respuesta

Es directa: $x = \dfrac{75 \times 7}{3} = 175$ pesos.

2. 6 pintores tardan 10 días en pintar una escuela. ¿Cuánto tardarían 4 pintores?Ver respuestaOcultar respuesta

Es inversa (menos pintores, más días): $x = \dfrac{6 \times 10}{4} = 15$ días.

3. Reparte 900 pesos entre dos hermanos de forma directamente proporcional a sus edades, 4 y 5 años.Ver respuestaOcultar respuesta

$k = \dfrac{900}{4 + 5} = 100$. Al de 4 años le tocan 400 pesos y al de 5, 500 pesos.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios de variación y proporcionalidad

Temas relacionados: variación y covariación y medidas de tendencia central y de dispersión en el curso de Saberes y pensamiento científico 3.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2024). Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Tercer grado. SEP, pp. 115-121.
• Baldor, A. (2007). Aritmética. Grupo Editorial Patria.

Ver libro de texto (SEP)