Acertijos y retos resueltos: siete triángulos, el reloj en el espejo, la mosca, el vitral y las flechas

En un triángulo equilátero los tres lados miden lo mismo. La línea roja recorre dos lados de cada triángulo, y el tercer lado (la base) está sobre la línea punteada.

Así, en cada triángulo, la parte roja mide el doble de su base. Si sumamos todas las bases, obtenemos los 20 cm del segmento. Por lo tanto:

$$\text{línea roja} = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$$

No importa cuántos triángulos haya ni de qué tamaño sean: la respuesta siempre es 40 cm.

Un espejo invierte izquierda y derecha: lo que está en el lado derecho del reloj aparece en el izquierdo. Una regla práctica: la hora real y la hora del espejo suman 12:00.

$$12{:}00 - 8{:}05 = 3{:}55$$

Eran las 3:55 de la madrugada. Por eso todavía estaba oscuro: Ángel creyó ver las 8:05.

Calcular cada viaje de la mosca sería larguísimo. La clave es preguntarse: ¿cuánto tiempo vuela?

Los ciclistas se acercan a $12 + 12 = 24$ km/h. Como están a 24 km, se encuentran en:

$$t = \frac{24 \text{ km}}{24 \text{ km/h}} = 1 \text{ hora}$$

La mosca vuela todo ese tiempo a 15 km/h, así que recorre:

$$d = 15 \text{ km/h} \times 1 \text{ h} = 15 \text{ km}$$

Paso 1. Contar figuras. Hay 1 octágono extra más columnas de 3 octágonos y 3 cuadrados:

$$1 + 3n = 28 \Rightarrow n = 9 \text{ columnas}$$

Son 28 octágonos y $9 \times 3 =$ 27 cuadrados.

Paso 2. Contar todos los lados.

$$28 \times 8 + 27 \times 4 = 224 + 108 = 332 \text{ lados}$$

Paso 3. Restar los lados compartidos. Donde dos figuras se tocan, una sola varilla sirve para las dos. Hay 124 lados compartidos:

• Cada octágono de arriba y de abajo toca a 2 octágonos del centro: $18 \times 2 = 36$.
• Los 9 cuadrados del centro tocan 4 octágonos cada uno: $9 \times 4 = 36$.
• Los cuadrados de arriba y de abajo tocan 3 octágonos, salvo los dos del extremo derecho, que tocan 2: $2 \times (8 \times 3 + 2) = 52$.

$$332 - 124 = 208 \text{ varillas}$$

Paso 4. Cajas. $208 \div 30 = 6.93$, así que necesita 7 cajas.

Si se pusiera una varilla independiente en cada lado de cada figura, aunque estén juntas, serían 332 varillas y $332 \div 30 = 11.07$, es decir, 12 cajas. Por eso es importante interpretar bien el enunciado.

El patrón se repite cada 6 números. Lo que importa es el residuo al dividir entre 6:

Como $2016 = 6 \times 336$, el 2016 se comporta como el 0. Entonces:

• 2021 tiene residuo 5: de 2021 a 2022, flecha hacia arriba.
• 2022 tiene residuo 0: de 2022 a 2023, flecha a la derecha.
• 2023 tiene residuo 1: de 2023 a 2024, flecha hacia abajo.

En los dos, en lugar de calcular cada parte por separado (cada triángulo, cada viaje de la mosca), se busca una relación global: la línea roja es el doble de la base total, y la distancia de la mosca depende solo del tiempo total de vuelo.