Los trucos de la abuela: tres trucos de magia con matemáticas explicados con álgebra

A la abuela le encantaban los trucos de magia con números y cartas. Nunca los explicaba: «cuando sean más grandes se los explico para que vean cuánta matemática hay en ellos». Al cumplir 15 años, cada nieto recibía un papelito con la explicación. «Los trucos de la abuela» es un relato que enseña tres trucos de magia matemática. Aquí te contamos cómo hacerlos y, sobre todo, por qué funcionan.

En tu libro: el relato está en las páginas 110 a 115 de Múltiples lenguajes. Segundo grado (SEP).

1. El truco de los días del año (Jonás)

Cómo se hace:

1. Piensa un número cualquiera, $x$.
2. Multiplícalo por 2.
3. Súmale 5.
4. Multiplica el resultado por 50.
5. Réstale 365 (los días de un año no bisiesto).
6. Súmale otro número, $y$, de una o dos cifras (por ejemplo, la edad de alguien).
7. Di el resultado.

El mago le suma 115 y lee la respuesta: las últimas dos cifras son $y$ y las anteriores son $x$.

Ejemplo del libro: Jonás pensó 123 y sumó 37, la edad del papá de su amigo. Dijo 12 222. La abuela calculó $12\,222 + 115 = 12\,337$: pensó el 123 y el señor tiene 37 años.

Por qué funciona:

$$2x \;\to\; 2x + 5 \;\to\; 50(2x + 5) = 100x + 250$$ $$100x + 250 - 365 = 100x - 115$$ $$100x - 115 + y$$

Al sumarle 115 queda $100x + y$. Multiplicar por 100 «recorre» a $x$ dos lugares a la izquierda, y $y$ ocupa las dos últimas cifras. Por eso Jonás gritó: «¡claro, basta que sume 115!».

2. El truco de las 21 cartas (Amelia)

Cómo se hace:

1. Reparte 21 cartas en 3 columnas de 7. El espectador elige una carta en secreto y dice en qué columna está.
2. Recoge las columnas sin mezclarlas, poniendo siempre en segundo lugar (en medio) la columna que te indicó.
3. Vuelve a repartir las cartas en horizontal: la 1.ª carta en la columna 1, la 2.ª en la 2, la 3.ª en la 3, la 4.ª en la 1, y así sucesivamente.
4. Pregunta de nuevo en qué columna está y recoge igual, con esa columna en medio.
5. Repite el reparto y la recogida una vez más.
6. Cuenta las cartas: la carta elegida es siempre la número 11.

Por qué funciona:

• Tras la primera recogida, la carta está en el bloque del medio: entre las posiciones 8 y 14.
• Al repartir en horizontal, esas posiciones caen en los renglones 3, 4 o 5 de su columna.
• Tras la segunda recogida, hay 7 cartas antes de la columna de en medio, así que la carta queda en la posición $7 + 3 = 10$, $7 + 4 = 11$ o $7 + 5 = 12$.
• Al repartir otra vez, las posiciones 10, 11 y 12 caen en el renglón 4, justo en el centro de su columna.
• Tras la tercera recogida, queda en la posición $7 + 4 =$ 11.

Cada recogida «empuja» la carta hacia el centro del mazo, hasta que queda exactamente en medio: 10 cartas antes y 10 después.

3. El truco del 9 (Matías)

Cómo se hace:

1. Escribe un número de varias cifras.
2. Suma sus dígitos y réstale esa suma al número.
3. Tacha un dígito del resultado (que no sea cero) y di los demás.
4. El mago suma los dígitos que le dijeron y busca el múltiplo de 9 más cercano por arriba. La diferencia es el dígito tachado.

Ejemplo del libro: le dicen 7, 8 y 9. Suman 24. El siguiente múltiplo de 9 es 27, y $27 - 24 = 3$: tachó un 3.

Por qué funciona: con un número de cuatro cifras, $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$:

$$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$

El resultado siempre es múltiplo de 9. Y un número es múltiplo de 9 cuando la suma de sus dígitos también lo es. Así que a los dígitos que quedaron les falta justo lo necesario para llegar al siguiente múltiplo de 9.

Cuidado: si la suma de los dígitos que te dicen ya es múltiplo de 9, el dígito tachado pudo ser 0 o 9. Por eso se pide no tachar ceros.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Por qué se resta 365 y luego se suma 115 en el truco de Jonás?Ver respuestaOcultar respuesta

Porque $250 - 365 = -115$. El 365 sirve para disfrazar la operación con los días del año; al sumar 115, el mago anula ese efecto y deja solo $100x + y$.

2. ¿Qué pasaría si en el truco de las cartas pones la columna elegida en primer lugar?Ver respuestaOcultar respuesta

La carta ya no se iría al centro del mazo: el truco dejaría de funcionar, porque la clave es que cada recogida coloque la carta en el bloque de en medio.

Practica con los ejercicios de esta unidad:

Ejercicios de Matemáticas de Múltiples lenguajes 2

Tema relacionado: el problema de Monty Hall, otro reto matemático de concurso.

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Sk’asolil. Múltiples lenguajes. Segundo grado. SEP, pp. 110-115.
• Gardner, M. (1956). Mathematics, Magic and Mystery. Dover.

Ver libro de texto (SEP)