Ecuaciones de segundo grado: fórmula general, factorización y discriminante

Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) tiene la incógnita elevada al cuadrado. Su forma general es

$$ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \neq 0$$

A diferencia de las de primer grado, puede tener dos soluciones, una sola o ninguna real. En esta clase verás cómo clasificarlas y los tres métodos para resolverlas.

Clasificación

Ecuaciones incompletas

Pura: se despeja $x^2$ y se saca raíz cuadrada, con los dos signos:

$$x^2 - 49 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 49 \;\Rightarrow\; x = \pm 7$$

Mixta: se factoriza $x$ y se iguala cada factor a cero:

$$3x^2 - 12x = 0 \;\Rightarrow\; 3x(x - 4) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0,\;\; x_2 = 4$$

Error frecuente: dividir entre $x$ en una mixta. Se pierde la solución $x = 0$.

Método 1: factorización

Se factoriza el trinomio y se usa que si un producto es cero, alguno de sus factores es cero:

$$x^2 - 5x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-3) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 2,\;\; x_2 = 3$$

Método 2: completar el cuadrado

Se transforma la ecuación para obtener un trinomio cuadrado perfecto. Se suma en ambos lados el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$:

$$\begin{aligned} x^2 + 6x - 7 &= 0 \\ x^2 + 6x &= 7 \\ x^2 + 6x + 9 &= 7 + 9 \qquad \left(\tfrac{6}{2}\right)^2 = 9 \\ (x+3)^2 &= 16 \\ x + 3 &= \pm 4 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\;\; x_2 = -7 \end{aligned}$$

Este método es el que da origen a la fórmula general y se usa en geometría analítica para encontrar el centro de una circunferencia.

Método 3: fórmula general

Funciona para cualquier ecuación de segundo grado:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ejemplo: $2x^2 - 3x - 2 = 0$, con $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

$$x_1 = \frac{3+5}{4} = 2 \qquad\quad x_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$$

El discriminante

La expresión dentro de la raíz, $\Delta = b^2 - 4ac$, se llama discriminante y dice cuántas soluciones reales hay sin resolver la ecuación:

• Δ > 0: x² − 5x + 6
• Δ = 0: x² − 4x + 4
• Δ < 0: x² + 2x + 5

Cuando $\Delta < 0$, las soluciones son números complejos. Por ejemplo, para $x^2 + 2x + 5 = 0$, $\Delta = 4 - 20 = -16$:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$

Suma y producto de las raíces

Si $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad\qquad x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Esto permite construir una ecuación a partir de sus raíces: $x^2 - (\text{suma})\,x + (\text{producto}) = 0$. Para raíces 3 y $-5$: suma $= -2$, producto $= -15$, así que la ecuación es $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $x^2+x-12=0$Ver respuestaOcultar respuesta

$(x+4)(x-3) = 0 \Rightarrow x_1 = -4,\; x_2 = 3$.

2. ¿Cuántas soluciones reales tiene $x^2 - 6x + 9 = 0$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\Delta = 36 - 36 = 0$: una solución doble, $x = 3$.

3. Resuelve $x^2 + 4x - 1 = 0$ con la fórmula generalVer respuestaOcultar respuesta

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$$

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

Ver Libro