Identidades trigonométricas básicas y cómo demostrarlas

Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para todos los ángulos en los que está definida. Sirven para simplificar expresiones, resolver ecuaciones y, más adelante, para derivar e integrar funciones trigonométricas.

Identidades fundamentales

Recíprocas

$$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \qquad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$$

De cociente

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad\qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

Pitagóricas

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

$$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \qquad\qquad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$

La primera se obtiene del círculo unitario: el punto $(\cos\theta,\, \sin\theta)$ está a distancia 1 del origen, así que $x^2 + y^2 = 1$. Las otras dos salen de dividir la primera entre $\cos^2\theta$ y entre $\sin^2\theta$.

Despejes útiles: $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ y $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$.

Notación: $\sin^2\theta$ significa $(\sin\theta)^2$, no $\sin(\theta^2)$.

Simplificar expresiones

La estrategia general es escribir todo en términos de seno y coseno y simplificar con álgebra.

Ejemplo 1:

$$\tan x\cos x = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x = \sin x$$

Ejemplo 2:

$$(1 - \cos^2 x)\csc^2 x = \sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin^2 x} = 1$$

Ejemplo 3:

$$\frac{\sec x}{\csc x} = \frac{1/\cos x}{1/\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$

Demostrar una identidad

Se trabaja un solo lado (normalmente el más complicado) hasta llegar al otro. No se vale «pasar» términos de un lado al otro, porque eso supone que la igualdad ya es cierta.

Demuestra que $\sec x - \cos x = \sin x\tan x$.

$$\begin{aligned} \sec x - \cos x &= \frac{1}{\cos x} - \cos x \\ &= \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} \\ &= \frac{\sin^2 x}{\cos x} \\ &= \sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sin x\tan x \quad \checkmark \end{aligned}$$

Demuestra que $\dfrac{1 + \tan^2 x}{\tan^2 x} = \csc^2 x$.

$$\frac{1 + \tan^2 x}{\tan^2 x} = \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x} = \frac{1/\cos^2 x}{\sin^2 x/\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \quad \checkmark$$

Consejos

• Empieza por el lado que tenga más operaciones.
• Convierte a senos y cosenos.
• Busca las identidades pitagóricas: $1 - \cos^2 x$, $\sec^2 x - 1$, etc.
• Suma fracciones con común denominador o factoriza cuando sea posible.

Otras identidades útiles

Ángulo doble:

$$\sin 2x = 2\sin x\cos x \qquad\qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$

Suma de ángulos:

$$\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b \qquad \cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b$$

Comprueba lo aprendido

1. Simplifica $\sin x\cot x$Ver respuestaOcultar respuesta

$\sin x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$.

2. Simplifica $(\sec^2 x - 1)\cos^2 x$Ver respuestaOcultar respuesta

$\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$, así que queda $\tan^2 x\cos^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\cos^2 x = \sin^2 x$.

3. Si $\cos x = 0.6$, ¿cuánto vale $\sin^2 x$?Ver respuestaOcultar respuesta

$\sin^2 x = 1 - 0.36 = 0.64$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de trigonometría

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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