Ecuaciones lineales de la forma Ax = B, Ax + B = C y Ax + B = Cx + D: propiedades de la igualdad

Una ecuación es como una balanza en equilibrio: lo que hay de un lado pesa lo mismo que lo del otro. Si quitas o agregas lo mismo en los dos platos, sigue equilibrada. Esa idea basta para resolver cualquier ecuación lineal.

En tu libro: este tema está en las páginas 177 a 182 de Saberes y pensamiento científico. Primer grado (SEP).

Partes de una ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Su grado lo da el mayor exponente de la incógnita; si es 1, es una ecuación lineal o de primer grado.

En el término $-2x^2$: el coeficiente es $-2$, la incógnita (o literal) es $x$ y el exponente es 2. Cuando el exponente es 1 no se escribe: $5x$ es $5x^1$.

Términos semejantes son los que tienen la misma literal con el mismo exponente: $3x$ y $-7x$ son semejantes; $3x$ y $3x^2$ no. Solo los términos semejantes se pueden sumar o restar: $x + x + y + y = 2x + 2y$.

Las propiedades de la igualdad

Para “quitar” un número se usa su inverso:

• El inverso aditivo de $c$ es $-c$, porque $c + (-c) = 0$. El de 6 es −6.
• El inverso multiplicativo de $c$ es $\frac{1}{c}$, porque $c \times \frac{1}{c} = 1$. El de 5 es $\frac{1}{5}$; el de $\frac{3}{4}$ es $\frac{4}{3}$.

Lo que comúnmente se llama “pasar al otro lado con la operación contraria” es exactamente esto.

Forma Ax = B

Se multiplica por el inverso de $A$ (es decir, se divide entre $A$):

$$x = \frac{B}{A}$$

Página 180: $5x = 50$. Multiplicando por $\frac{1}{5}$ en ambos lados: $x = 10$.

Página 180 (propiedad aditiva): $x + 6 = 12$. Sumando −6 en ambos lados: $x = 6$.

Más ejemplos: $-4x = 28 \Rightarrow x = -7$. $\quad \frac{x}{3} = 9 \Rightarrow x = 27$.

Forma Ax + B = C

Primero la propiedad aditiva (quita $B$) y después la multiplicativa (quita $A$).

Ejemplo sencillo: $3x + 7 = 22$

$$3x = 22 - 7 = 15 \qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{15}{3} = 5$$

Comprobación: $3(5) + 7 = 22$ ✓.

Página 181, con fracciones: $5x + \frac{2}{3} = 15$

1. Se resta $\frac{2}{3}$ en ambos lados. Se escribe 15 en tercios, $\frac{45}{3}$: $$5x = \frac{45}{3} - \frac{2}{3} = \frac{43}{3}$$
2. Se multiplica por $\frac{1}{5}$: $$x = \frac{43}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{43}{15}$$

Forma Ax + B = Cx + D

Hay incógnitas en los dos lados. Se juntan las $x$ en un lado y los números en el otro.

Página 182: $16x + 4 = 8x + 10$

1. Se resta 4 en ambos lados: $16x = 8x + 6$.
2. Se resta $8x$ en ambos lados: $8x = 6$.
3. Se divide entre 8: $x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Comprobación: $16(\frac{3}{4}) + 4 = 12 + 4 = 16$ y $8(\frac{3}{4}) + 10 = 6 + 10 = 16$ ✓.

Con negativos: $2x - 9 = 5x + 3$

$$2x - 5x = 3 + 9 \quad\Rightarrow\quad -3x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = -4$$

Con paréntesis: primero se aplica la propiedad distributiva. $3(x - 2) = x + 8$:

$$3x - 6 = x + 8 \quad\Rightarrow\quad 2x = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 7$$

Errores frecuentes

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve 9x − 4 = 7x + 10 y comprueba.Ver respuestaOcultar respuesta

$2x = 14 \Rightarrow x = 7$. Comprobación: $63 - 4 = 59$ y $49 + 10 = 59$ ✓.

2. Resuelve x/4 + 3 = 8.Ver respuestaOcultar respuesta

$\frac{x}{4} = 5 \Rightarrow x = 20$.

3. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de −2/7?Ver respuestaOcultar respuesta

$-\frac{7}{2}$, porque $-\frac{2}{7} \times (-\frac{7}{2}) = 1$.

4. Resuelve 5(x − 1) = 3(x + 3).Ver respuestaOcultar respuesta

$5x - 5 = 3x + 9 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de álgebra y variación

Temas relacionados: problemas con ecuaciones lineales, relaciones lineales y ecuaciones de primer grado (preparatoria).

Referencias

• Secretaría de Educación Pública (2025). Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Primer grado. SEP, pp. 177-182.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.

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